ایک
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
A
=
[
a
0
,
0
a
0
,
1
a
0
,
2
a
1
,
0
a
1
,
1
a
1
,
2
a
2
,
0
a
2
,
1
a
2
,
2
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]}
کا دترمینان یہ ہو گا
det
(
A
)
=
a
0
,
0
a
1
,
1
a
2
,
2
+
a
0
,
1
a
1
,
2
a
2
,
0
+
a
0
,
2
a
1
,
0
a
2
,
1
−
a
0
,
2
a
1
,
1
a
2
,
0
−
a
0
,
1
a
1
,
0
a
2
,
2
−
a
0
,
0
a
1
,
2
a
2
,
1
{\displaystyle \det(A)=a_{0,0}a_{1,1}a_{2,2}+a_{0,1}a_{1,2}a_{2,0}+a_{0,2}a_{1,0}a_{2,1}-a_{0,2}a_{1,1}a_{2,0}-a_{0,1}a_{1,0}a_{2,2}-a_{0,0}a_{1,2}a_{2,1}}
اسی طرح ایک
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے
det
(
A
)
=
∑
±
a
0
,
k
0
a
1
,
k
1
⋯
a
n
−
1
,
k
n
−
1
{\displaystyle \det(A)=\sum \pm a_{0,k_{0}}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}}
جہاں
{
k
0
,
k
1
,
⋯
,
k
n
−
1
}
{\displaystyle \{k_{0},k_{1},\cdots ,k_{n-1}\}}
تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد
{
0
,
1
,
⋯
,
n
−
1
}
{\displaystyle \{0,1,\cdots ,n-1\}}
a
i
,
j
{\displaystyle \ a_{i,j}}
a
i
,
j
{\displaystyle \ a_{i,j}}
n
!
{\displaystyle \ n!}
جفت عدد ہے یا طاق عدد ۔
(یہاں
n
!
{\displaystyle \ n!}
n کا عامَلیّہ ہے۔)
یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:
دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ
ترمیم
تعریف: ایک
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی
n
−
1
×
n
−
1
{\displaystyle \ n-1\times n-1}
A
i
,
j
{\displaystyle \ A_{i,j}}
n
×
n
{\displaystyle \ n\times n}
i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔
انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس
A
=
[
a
0
,
0
a
0
,
1
a
0
,
2
a
0
,
3
a
1
,
0
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
a
2
,
0
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
a
3
,
0
a
3
,
1
a
3
,
2
a
3
,
3
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&a_{0,3}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}
A
1
,
2
=
[
a
0
,
0
a
0
,
1
a
0
,
3
a
2
,
0
a
2
,
1
a
2
,
3
a
3
,
0
a
3
,
1
a
3
,
3
]
{\displaystyle A_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}
تعریف: میڑکس A کے چھوٹے
A
i
,
j
{\displaystyle A_{i,j}}
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
[
a
0
,
0
a
0
,
1
⋯
a
0
,
n
−
1
a
1
,
0
a
1
,
1
⋯
a
1
,
n
−
1
⋮
⋯
⋱
⋮
a
n
−
1
,
0
a
n
−
1
,
1
⋯
a
n
−
1
,
n
−
1
]
{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]}
det
(
A
)
=
a
0
,
0
det
(
A
0
,
0
)
−
a
1
,
0
det
(
A
1
,
0
)
+
⋯
+
(
−
1
)
n
a
n
−
1
,
0
det
(
A
n
−
1
,
0
)
{\displaystyle \det(A)=a_{0,0}\det(A_{0,0})-a_{1,0}\det(A_{1,0})+\cdots +(-1)^{n}a_{n-1,0}\det(A_{n-1,0})}
مسلئہ اثباتی 1
ترمیم
میٹرکس جن کا سائیز
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو
α
{\displaystyle \alpha }
B حاصل کی جائے تو:
det
(
B
)
=
α
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(B)=\alpha \det(A)}
اگر میٹرکس A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس B حاصل کی جائے تو:
det
(
B
)
=
−
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(B)=-\det(A)}
اگر میٹرکس A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے اور اس نئی میٹرکس کو B کہا جائے تو:
det
(
B
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(B)=\det(A)}
det
(
I
)
=
1
{\displaystyle \ \det(I)=1}
میٹرکس A کے اُلٹ کا دترمیناں
det
(
A
−
1
)
=
1
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}}
میٹرکس A کے پلٹ کا دترمیناں
det
(
A
t
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(A^{t})=\det(A)}
میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان
det
(
α
A
)
=
α
n
det
(
A
)
{\displaystyle \ \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)}
مسلئہ اثباتی 2
ترمیم
میٹرکس جن کا سائیز
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
اگر کسی میٹرکس A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:
det
(
A
)
=
0
{\displaystyle \ \det(A)=0}
اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:
det
(
A
)
=
0
{\displaystyle \ \det(A)=0}
مسلئہ اثباتی 3
ترمیم
میٹرکس جن کا سائیز
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
det
(
A
B
)
=
det
(
A
)
det
(
B
)
{\displaystyle \ \det(AB)=\det(A)\det(B)}
مسلئہ اثباتی 4
ترمیم
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
f
(
X
)
=
A
X
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
A کا سائیز
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
میدان
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
E کو علاقہ f(E) میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکسA کے دترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:
A
r
e
a
o
f
f
(
E
)
A
r
e
a
o
f
E
=
|
det
(
A
)
|
{\displaystyle {\frac {\mathrm {Area\ of\ } f(E)}{\mathrm {Area\ of\ } E}}=|\det(A)|}
(تصویر کے لیے دیکھو )
مسلئہ اثباتی 5
ترمیم
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
f
(
X
)
=
A
X
:
R
3
→
R
3
{\displaystyle f(X)=AX:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}
A کا سائیز
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
میدان
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
E کو علاقہ f(E) میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکسA کے دترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی:
V
o
l
u
m
e
o
f
f
(
E
)
V
o
l
u
m
e
o
f
E
=
|
det
(
A
)
|
{\displaystyle {\frac {\mathrm {Volume\ of\ } f(E)}{\mathrm {Volume\ of\ } E}}=|\det(A)|}
![{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25e0211211e9d069818bbdca08569be772f3ee2)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502a1cdd0e3e67213adf96e9cbc49fcff57ce75b)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}&a_{0,3}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cc86d43e33136fa3e7caca21daf0a416413ab5)
![{\displaystyle A_{1,2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,3}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,0}&a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010577b02cd90984efc916d4feba3d562b3ce489)
![{\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots &\cdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1,0}&a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2846a8ebac6e1cfab1bc6805d44efdfab45f867)
