"گروہ (ریاضی)" کے نسخوں کے درمیان فرق
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
||
سطر 17:
===مثال (تبدل کامل) ===
اعداد کے مجموعہ <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> کے کسی خاص [[Permutation|تبدل کامل]] کو ایک [[دالہ]] کے زریعہ لکھا جا سکتا ہے، یعنی
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
</table>
مثلاً n=4 کے لیے یہ ہو سکتی ہے
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<tr>
<td>4
<td>2
<td>1
<td>3
</table>
اگر <code dir="ltr">f(.)</code> اور <code dir="ltr">g(.)</code> کوئ دو دالہ تبدل کامل ہوں اعداد <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> پر، تو ان دالہ کی [[composition|ترکیب]]
<math>f \circ g(k) = f(g(k))</math>
بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اسطرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر ''f'' اور ''g'' کے لیے۔
شناخت عنصر کے لیے ہم دالہ تعریف کرتے ہیں
<math>I(k)=k \,,\,\, k=1,2,\cdots,n</math>
اور یہ دوسرے مسلمہ پر پوری اترتی ہے۔
اگر دالہ <code dir="ltr">f(.)</code> کوئ خاص تبدل کامل تعریف کرتی ہے
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
</table>
تو یہ تبدل کامل
<table dir="ltr" border=1>
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
</table>
اس کا اُلٹ ہے، اور اسے <math>f^{-1}(.)</math> کہہ سکتے ہیں،
:<math>f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k</math>
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔
اگر ''g''، ''f''، اور ''h'' ، کوئ تبدل کامل دالہ ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے
:<math>(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k) </math>
| |||