"مخلوط عدد" کے نسخوں کے درمیان فرق

حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
م bot: removed {{Link FA}}, it is now given by wikidata
م clean up, replaced: ← (130) using AWB
سطر 2:
مختلط عدد <br /> حقیقی عدد |
complex number <br /> real number}}
کسی [[عدد]] کو اپنے آپ سے ضرب دے کر اس کا مربع نکالا جا سکتا ہے۔ مثلاً <math>\ 7\times 7 = 49</math> ۔ اسی طرح کسی عدد کا [[مربع جذر|جزر المربع]] بھی نکالا جا سکتا ہے، مثلاً <math> \sqrt{49}=7</math> ۔ اسی طرح <math> \sqrt{1}=1</math>، چونکہ <math>\ 1 \times 1 =1</math> ، مگر <math> \sqrt{-1}=?</math> ۔ یعنی ایک منفی عدد کا جزر المربع کیا ہو؟ اس کا حل نکالنے کیلئے ریاضی دانوں نے "تخیلی عدد" بتائے ہیں۔ اس کیلئے <math>\ -1 \, </math> کے جزر المربع کو ایک خاص علامت <math>\ \iota </math> دی گئی ہے، یعنی<math> \sqrt{-1}=\iota</math> ۔ اسی طرح <math> \sqrt{-49}=7\iota</math> ۔ ایسے عدد جن کے ساتھ <math>\ \iota</math> لکھا جاتا ہے، "تخیلی عدد" کہلاتے ہیں، مثلاً <math>\ 7\iota\,</math> ۔ اسی طرح عام اعداد کو "حقیقی عدد" کہا جاتا ہے، مثلاً ایسا عدد جو "حقیقی عدد" اور "تخیلی عدد" کے مجموعہ سے بنے، کو "مختلط عدد" کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر <math>\ 6+7\iota\,</math> اور <math>\ 6-7\iota\,</math> مختلط عدد ہیں۔ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے حسابی عمل کیے جا سکتے ہیں. دو مختلط اعداد <math>\ a+b\iota </math> اور <math>\ c+d\iota </math>کی جمع اور تفریق:
 
 
<math>
\ (a + b \iota) + (c + d \iota) = (a+c) + (b+d)\iota \,
</math>
 
<math>
\ (a + b \iota) - (c + d \iota) = (a-c) + (b-d)\iota \,
</math>
 
اسی طرح ضرب اور تقسیم، الجبرا کے عام اصولوں کے مطابق (یاد رہے کہ، <math>\ \iota^2=-1</math> )
 
 
<math>
\ (a + b \iota) (c + d \iota) = (ac-bd) + (ad+bc)\iota \,
</math>
 
 
<math>
\frac{a + b \iota} {c + d \iota} = \frac{(a + b \iota) (c - d \iota)} {(c + d \iota) (c - d \iota)} = \frac{(ac+bd) }{c^2+d^2}+ \frac{(bc-ad) \iota }{c^2+d^2} \,
</math>
چونکہ مختلط اعداد پر جمع، تفریق، ضرب، اور تقسیم کے عمل کیے جا سکتے ہیں، اس لیے مختلط اعداد ایک مختلط [[میدان]] بناتے ہیں، جسے <math>\mathbb{C}\,</math> کی علامت سے ظاہر کیا جاتا ہے۔
 
=== مستطیل اور قطبی صورت ===
[[تصویر:Cplane3.png|left]]
مختلط عدد <math>\ a+b \iota </math> کو مستطیل مستوی میں اس طرح دکھایا جاتا ہے، حقیقی عدد افقی جانب اور تخیلی عدد عمودی جانب۔ یعنی مستطیل مستوی میں کوئی بھی نکتہ ایک مختلط عدد سمجھا جا سکتا ہے۔ پلین کے مبدا سے اس نکتہ کو جوڑنے والی لکیر کو اکثر سمتیہ کہتے ہیں۔ اس لکیر کی لمبائی <math>\ r</math> ہے اور اس کا دائیں افقی جانب سے زاویہ <math>\theta\,</math> ہے۔ ان پیمائیشوں کے درمیان رشتہ داری فیثاغورث کے اصول استعمال کرتے ہوئے یوں بیان کی جا سکتی ہے:
:<math>
r = \sqrt{ a^2 + b^2} \; ,\;\;\; \theta=\tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)
</math>
:<math>
\ a=r \cos(\theta)\;,\;\;\; b=r \sin(\theta)
</math>
ہم <math> r \angle{\theta} </math>کو مختلط عدد کی قطبی صورت کہتے ہیں، جبکہ <math>\ a+ b \iota </math> کو مستطیل صورت۔
 
اب <math>\ \exp(x) \,</math> کے [[سلسلہ (ریاضی)|سلسلہ]] کے استعمال سے یہ آسانی سے ثابت کیا جا سکتا ہے کہ
:<math>
\ e^{\iota\theta} = \cos(\theta) + \iota \sin(\theta)
</math>
اس کے استعمال سے ہم مختلط عدد کی مستطیل اور قطبی صورت کے رشتہ کو مساوات کی شکل میں یوں لکھ سکتے ہیں:
:<math>
\ a + \iota b = r \cos(\theta) + \iota r \sin(\theta) = r (\cos(\theta) + \iota \sin(\theta) ) = r e^{\iota \theta}
</math>
یعنی
<math>\ a + b \iota = r \exp(\iota \theta) \,</math>
 
قطبی صورت میں مختلط عدد کی ضرب اور تقسیم نسبتاً زیادہ آسان ہے:
:<math>
\ (r_1 \exp(\iota \theta_1)) (r_2 \exp(\iota \theta_2)) = r_1 r_2 \exp(\iota (\theta_1+\theta_2))
</math>
:<math>
سطر 56 ⟵ 53:
</math>
 
مختلط عدد <math>\ z=a+\iota b = r e^{\iota \theta} </math> اور مختلط عدد <math>\ \bar{z}=a-\iota b = r e^{-\iota \theta} </math> کو ایک دوسرے کا conjugate کہا جاتا ہے۔ غور کرو کہ ان دونوں کی لمبائی برابر ہے اور یہ افقی طرف سے ایک دوسرے کا عکس ہیں۔
 
مختلط عدد <math>\ z= r e^{\iota \theta} </math> کی لمبائی کو عموماً <math>\ |z|= r</math> لکھا جاتا ہے اور اس کے زاویہ کو <math>\ arg(z)= \theta</math> لکھا جاتا ہے۔
 
=== عدد ایک <math>1</math> کے جزر ===
مساوات <math>\ x^n-1</math> کے <math>\ n</math> جزر یوں لکھے جا سکتے ہیں:
<math> x= \sqrt[n]{1} = \exp(\iota \pi 2 k/n) \, ,\, k=0,\cdots,n-1 </math>
مساوات میں<math>\ x</math> کی قدر ڈال کر بآسانی یہ تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ مساوات کے جزر ہیں۔ غور کرو کہ یہ جزر مبدا کے گرد ایک دائرے پر واقع ہیں، جس دائرہ کا [[رداس|نصف قطر]] ایک (1) ہے۔ تصویر میں <math>\ n=10</math>کیلئے دس جزر دکھائے گئے ہیں۔
[[تصویر: croots.png]]
 
اسی طرح مساوات <math>\ x^n+1</math> کے جزر یوں ہیں:
<math> x= \sqrt[n]{-1} =\exp(\iota \pi (2k+1)/n) \, , \, k=0,\cdots,n-1 </math>
 
== بیرونی روابط ==
* کمپوٹر سافٹوئیر [http://www.scilab.org سائیلیب] میں مختلط (کمپلکس) اعداد کے استعمال کا ایک [http://urdutext.cwahi.net/urdutext/lesson1.xml سبق] ۔
 
 
{{ریاضی مدد}}
 
[[زمرہ: مختلط اعداد]]