"میٹرکس (ریاضی)" کے نسخوں کے درمیان فرق

حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
clean up, replaced: زریعہ ← ذریعہ using AWB
م clean up, replaced: ← (17), ← (27) using AWB
سطر 13:
ایک <math>\ m \times n </math> میٹرکس ''A'' کو اس طرح لکھا جاتا ہے، یعنی m قطاریں اور n ستون،
<math>
A = \left[
\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1} \\
سطر 82:
\right],
</math>
یہاں دونوں میٹرکس A اور X مربع میٹرکس ہیں۔ دونوں کی جسامت <math>\ 3 \times 3 </math> ہے۔ اسلئے میٹرکس Y کی جسامت بھی <math>\ 3 \times 3 </math> ہو گا۔
 
<math>
Y= AX = \left[
\begin{matrix}
y_{00} &y_{01} & y_{02} \\
سطر 109:
\right]
</math>
غور کرنے پر معلوم ہو گا کہ میٹرکس Y کا ہر جز، میٹرکس A کی ایک قطار اور میٹرکس X کے ایک ستون سے ٹکرا کر بنا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس Y کا جز <math>\ y_{00} </math> میٹرکس A کی قطار 0 اور میٹرکس X کے ستون 0 کے ملاپ سے بنا ہے ۔ اسی طرح جز <math>\ y_{12} </math> میٹرکس A کی قطار 1 اور میٹرکس X کے ستون 2 کے ساتھ اس طرح بنا ہے:
<math>
y_{12} =
سطر 120:
= a_{10}x_{02} + a_{11}x_{12} + a_{12} x_{22}
</math>
یک قطاری یا یک ستونی میٹرکس کو [[سمتیہ]] بھی کہا جاتا ہے۔ ایک <math>\ m\times n</math> جسامت کی میٹرکس کو ایک <math>\ n\times r</math> جسامت کی میٹرکس سے ضرب دینے سے <math>\ m\times r</math> جسامت کی میٹرکس نکلے گی۔ یاد رکھو کہ میٹرکس ضرب میں عموماً <math>\ A B \ne B A</math>
 
=== شناخت میٹرکس ===
:''تفصیلی مضمون'': [[شناخت میٹرکس]]
شناخت میترکس کو ریاضی میں خاص مقام حاصل ہے۔ یہ ایسی میٹرکس ہے جس کے بائیں سے دائیں آر پار جز 1 ہوں، اور اس کے علاوہ باقی جز 0 ہوں۔ ایک <math>\ n\times n</math> شناخت میٹرکس کو یوں لکھیں گے:
<math>
I_n = \left[ \begin{matrix}
سطر 149:
\ \frac{a}{a} = a \frac{1}{a} = a a^{-1} = 1
</math>
یعنی عدد <math>\ a</math> کا الٹ عدد <math>\ a^{-1}</math> ہے، ان دونوں اعداد کو ضرب دینے سے عدد 1 حاصل ہوتا ہے۔ اسی طرح <math>\ n\times n</math> جسامت کی میٹرکس <math>\ A</math> کا الٹ میٹرکس <math>\ A^{-1}</math> ہو گی، جس کی جسامت بھی <math>\ n\times n</math> ہو گا، جب ان دونوں میٹرکسوں کو ضرب دینے سے شناخت میٹرکس حاصل ہو۔ یعنی <math>\ A A^{-1} = I_n</math>
صرف مربع میٹرکس کا الٹ ممکن ہے، مگر ہر مربع میٹرکس کا الٹ ممکن نہیں۔ جس مربع میٹرکس کی قطاریں باہمی آزاد ہوں (اور ستون آپس میں باہمی آزاد ہوں)، صرف ایسی میٹرکس کو الٹایا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر میٹرکس
<math>
سطر 192:
:* یہاں یہ بیان کرنا ضروری ہے کہ اگر اس میٹرکس کا دترمینان بہت چھوٹا عدد ہو، تو میٹرکس کو الٹانا مشکل ہوتا ہے۔ یہ جاننے کے لیے میٹرکس کا حالتی عدد (condition number) نکالنا مفید رہتا ہے۔
 
:* یاد رہے کہ عام طور پر مساوات <math>\ AX=0 </math> سے یہ نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا کہ <math>\ X=0 </math> ۔ (اس کے لیے مسلئہ اثباتی کی رو سے مربع میٹرکس ''A'' کا رتبہ پورا ''n'' ہونا ضروری ہے۔)
 
== میٹرکس ضرب بطور دالہ ==
میٹرکس ضرب لکیری [[دالہ]] بنانے میں کام آتی ہے۔ '' n'' رُخی فضا میں کسی بھی نکتہ کو '' n'' اصلی اعداد ([[میدان]] <math>\mathbb{R}</math>) پر مشتمل سمتیہ سے لکھا جاتا ہے۔ یعنی ہر نکتہ ایک <math>\ n \times 1</math> میٹرکس کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ نکات <math>\mathbb{R}^n</math> فضا میں ہیں۔ اس فضا کے ایک نکتہ ''X'' کو ہم یوں لکھ سکتے ہیں:
:<math>
X = \left[
سطر 206:
\right] \,\, , \, x_k \in \mathbb{R}
</math>
اب اس نکتہ ''X'' کو ایک میٹرکس ''A'' سے ضرب دے کر نکتہ ''Y'' حاصل ہوتا ہے۔ نکتہ Y، ''m'' رُخی فضا میں ہے۔ میٹرکس ضرب دالہ کا کام کرتی ہے۔ دالہ کو عموماً <math>\ f(.)</math> سے ظاہر کرتے ہیں:
<br />
<math>\ Y = f(X) = A X </math> <br />
سطر 223:
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0, n-1}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1, n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m-1,0} & a_{m-1,1} & \cdots & a_{m-1, n-1}\\
\end{matrix}
\right]
سطر 238:
اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ میٹرکس ضرب ایک لکیری فنکشن کا کام کرتی ہے:
:<math>\begin{matrix}
f(\alpha U + \beta V) &=& A(\alpha U + \beta V) \\
&=& \alpha A U + \beta A V \\
&=& \alpha f(U) + \beta f(V)
\,,\,\,\,\,\, \alpha, \beta \in \mathbb{R}
\end{matrix}
</math>
<br />
زیادہ دلچسپ صورت اس وقت ہوتی ہے جب میٹرکس مربع ہو، یعنی نکات <math>\mathbb{R}^n</math> سے <math>\mathbb{R}^n</math> میں جا رہے ہوں۔ اب ہم <math>\mathbb{R}^2</math> سے <math>\mathbb{R}^2</math> کی مثال لیتے ہیں، یعنی میٹرکس کی جسامت <math>\ 2 \times 2</math> ہے، اور یہ دو رُخی فضا، مثال کے
طور پر سکرین کی سطح کو ظاہر کرتی ہے۔
 
سطر 291:
میٹرکس ضرب بطور لکیری دالہ
</caption>
<tr>
<td>[[ملف:matrix func grid domain.png|280px]]</td>
<td align="center"><math>\begin{matrix}
f(.) \\
\longrightarrow
\end{matrix}</math></td>
<td>[[ملف:matrix func grid range.png|280px]]</td>
</tr>
</table>
 
سطر 340:
[http://www.scilab.org سائیلیب ]
جیسے طاقتور کمپوٹر پیکج موجود ہیں، جو آزاد مصدر ہونے کے ناطے سے مفت دستیاب ہیں۔ سائیلیب میں میٹرکس ریاضی کے اردو میں کچھ
[http://urdutext.cwahi.net/urdutext/scilab.html اسباق ] موجود ہیں۔
 
{{ریاضی مدد}}