"عائلری کلیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
||
سطر 6:
[[Richard Feynman|رچرڈ فینمان]] نے اس کلیہ کو "ہمارا گوہر" کہا ہے، اور "تمام ریاضیات میں ایک بہت اہم، تقریباً حیران کن پریشان کن، کلیہ" بتایا ہے۔
==تاریخ==
اس کلیہ کو سب سے پہلے [[Roger Cotes|راجر کوتیس]] نے 1714ء میں مثبوت کیا، اس ہئیت میں
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
(جہاں ''ln'' علامت ہے قدرتی لاگرتھم کی، یعنی لاگرتھم اساس ''e'' پر)۔
پھر عائلر نے اس اپنی موجودہ ہئیت میں 1748ء میں شائع کیا، جس میں یہ ثابت کیا کہ دونوں اطراف کے [[infinite series|لامتناہی سلسلہ]] برابر ہیں۔ ان دو اشخاص میں سے کسی کو بھی اس کلیہ کی ہندسہ تشریح نہیں سوجھی؛ مختلط عدد کو مستوی میں نقاط کے طور پر تصور کرنے کا خیال 50 سال بعد اُبھرا۔ عائلر اپنی درسی کتب میں طالب علموں کو مختلط اعداد سے ابتدا میں ہی آشنا کرنے کا حامی تھا۔
== مختلط نظریہ عدد میں اطلاق ==
[[Image:Euler's formula.svg|thumb|left]]
اس کلیہ کی تشریح یوں کی جا سکتی ہے کہ دالہ ''e''<sup>''ix''</sup> مختلط مستوی میں [[unit circle|ایکائی دائرہ]] نقش کرتی ہے جب ''x'' حقیقی اعداد کا احاطہ کرتا ہے۔ یہاں ''x'' وہ [[angle|زاویہ]] ہے جو دائرہ پر نقطہ کو مبدا سے ملانے والی لکیر اور "مثبت افقی محور" کے درمیان ہے، جسے اُلٹی گھڑی کی سمت، اور [[radian|قطریہ]] میں ناپا جاتا ہے۔
اصل ثبوت [[exponential function|اَسّی دالہ]] ''e''<sup>''i x''</sup> (جہاں ''x'' حقیقی عدد ہے) اور sin ''x'' اور cos ''x'' کے [[Taylor series|ٹیلر سلسلہ]] میں پھیلاو پر مبنی ہے۔ دراصل اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کلیہ تمام مختلط عدد ''z'' کے لیے بھی لاگو ہے۔
{{ریاضی مدد}}
| |||