"عائلری کلیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں |
||
سطر 51:
اور دراصل یہ مختلط لاگرتھم کی تعریف کے لیے استعمال ہو سکتا ہے۔ اس لیے لاگرتھم متعدد رقمی دالہ ہے، چونکہ <math>\phi</math> متعدد رقمی ہے۔
==مثلثیات سے رشتہ ==
[[mathematical analysis|تحلیل]] اور [[trigonometry|مثلثیات]] کے بین عائلری کلیہ طاقتور رشتہ فراہم کرتا ہے، اور ''sin'' اور ''cos'' دالہ کی بطور اَسّی دالہ کے [[weighted sum|موزون حاصل جمع]] تفسیر کرتا ہے:
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>
یہ دو مساوات عائلری کلیات کو جمع تفریق کر کے کشید کیے جا سکتی ہیں:
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
: <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>
اور ''sin'' یا ''cos'' کے لیے حل کر کے۔
یہ کلیات مختلط استدلال ''x'' کے لیے مثلثیاتی دالہ کی تعریف بن سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ہو ''x'' = ''iy''، ہمارے پاس ہے:
:<math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>
:<math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). </math>
مختلط اَسّیائی سے مثلثیات کو سادہ بنایا جا سکتا ہے، کیونکہ ان سے کاریگری آسان ہوتی ہے بنسبت مثلثیاتی اجزا کے۔ ایک طراز یہ ہے کہ مثلثیات (sinusoids) کو اَسّی میں برابر تعبیر میں بدل دو۔ کاریگری کے بعد نتیجہ حقیقی ہی ہو گا۔ مثال سے واضح کرتے ہیں:
: <math>
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}
</math>
{{ریاضی مدد}}
| |||