"سمتیہ مکاں" کے نسخوں کے درمیان فرق

غور کرو کہ سمتیہ ''R'' کی سمت نکتہ ‭''(x=a, y=b)''‬ سے نکتہ ‭''(x=c, y=d)''‬ سیدھی لکیر کی طرف ہے، اور سمتیہ کی لمبائی (مطلق قیمت) ان نکات کے درمیان سیدھی لکیر میں فاصلہ ہے۔ اس لیے اس سمتیہ کو ان نکات کے درمیان [[ہٹاؤ]] کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھو کہ سمتیہ ''R'' چونکہ دو نکتوں کے درمیاں ہے، اس لیے اگر ابتداء کو کسی اور نکتہ پر لے جایا جائے، تو اس کا اس سمتیہ ''R'' پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس لیے اکثر کہا جاتا ہے کہ سمتیہ ایسی شئے ہے جو کہ ایک ''مطلق قیمت'' (magnitude) اور فضا میں ایک ''رُخ'' (direction) سے تعریف ہو جاتا ہے۔

فرض کرو کہ ہم نکتہ ‭''(x=a, y=b)''‬ سے نکتہ ''(x=c, y=d)'' ہٹتے ہیں (سمتیہ ''R'' )، اور پھر نکتہ ''(x=e, y=f)'' کی طرف ہٹ جاتے ہیں (سمتیہ ''G'' )۔ اب ہمارا کُل ہٹاؤ سمتیہ ''B'' ہے جو کہ سمتیہ ''R'' اور سمیتہ ''G'' کی جمع ہے۔

اب جیومیٹری کے نقطہ نظر سے سمتیہ تفریق پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ ''B'' میں سے ''R'' کو تفریق کر کے سمتیہ ''G'' ملتا ہے، ''G=B-R'' ۔ اس کا طریقہ یوں ہواہؤا کہ ''B'' اور ''R'' کی دُمیں ملا دو، اور ''R'' کے سر سے ''B'' کے سر تک سمتیہ فرق ''G'' ہے۔

اسی طرح جیومیٹری کے نقطہ نگاہ سے سمتیہ جمع پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ ''R'' اور ''G'' کو جمع کر کے سمتیہ ''B'' ملتا ہے، ''B=R+G'' ۔ اس کا طریقہ یوں ہواہؤا کہ سمتیہ ''G'' کی دُم سمتیہ ''R'' کے سر کے ساتھ جوڑو، اور پھر ''R'' کی دُم سے ''G'' کے سر تک سمتیہ جمع ''B'' ہے۔

جیسا کہ اوپر بیان ہواہؤا کہ ایسے سمتیہ کا مجموعہ <math>v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}</math> جن کے لکیری تولیف (linear combination) سے سمتیہ فضاء کا کوئی بھی سمتیہ <math>v</math> یوں لکھا جا سکے: <br />

یعنی ایسے کوئی <math>\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}</math> نہیں جو کہ اس مساوات کی تسکین کر سکیں۔

شکل ۴ میں یہ جوڑے (جو کہ آپس میں نوے درجہ کے زاویہ پر ہیں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کا جوڑا بناتے ہیں: