ویکیپیڈیا

"خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)" کے نسخوں کے درمیان فرق

تاریخچہ دیکھیں
→ گزشتہ ترمیماگلی ترمیم ←
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
بصریویکی متن
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں
سطر 1:
{{اصطلاح برابر|
مجموعہطاقم <br>احاطہ<br> یحیط <br> بند <br> کھلا <br> مطابقت <br> گھماؤ <br> ترجمہ <br> تراکب <br> ناتراکب <br> سکڑاو <br> پھیلاؤ <br> خود مشابہ <br> اتحاد<br> مستوی|
set <br> boundary <br>bounded <br> closed <br> open <br> congruence <br> rotate <br> translate <br> overlapping <br> non-overlapping <br> contraction <br> expansion <br> self-similar <br> union <br> plane}}
 
سطر 9:
ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء <math>\mathbb{R}^2</math> کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)
 
===تحیط مجموعہطاقم ===
[[لکیری فضا|اقلیدسی فضا]] <math>\mathbb{R}^2</math> میں کسی مجموعہطاقم کو ''تحیط'' کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ مجموعہطاقم سما جائے (تصویر 1) ۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو مجموعہطاقم "لاتحیط" کہلائے گا۔
 
[[Image:Congruent_sets.png|frame|تصویر 2]]
===بند مجموعہطاقم ===
[[لکیری فضا|اقلیدسی فضا]] <math>\mathbb{R}^2</math> میں اگر مجموعہطاقم کا احاطہ بھی مجموعہطاقم میں شامل ہو تو اسے بند مجموعہطاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہطاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
 
===کھلا مجموعہطاقم ===
[[لکیری فضا|اقلیدسی فضا]] <math>\mathbb{R}^2</math> میں اگر مجموعہطاقم کا احاطہ کو مجموعہطاقم کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا مجموعہطاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں مجموعہطاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔
 
===مجموعہ جاتطاقموں میں مطابقت ===
اگر ایک مجموعہطاقم کو گھماء اور [[Translation|ترجمہ]] کر کے دوسرے مجموعہطاقم میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں مجموعہطاقم جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین مجموعہطاقم جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔
<table>
<tr>
سطر 31:
</tr>
</table>
===تراکب مجموعہ جاتطاقموں ===
اگر دو مجموعہطاقم جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو ''تراکب'' کہا جاتا ہے، ورنہ ناتراکب۔ مثال تصویر 3 میں تراکب مجموعات دکھائے ہیں، اور تصویر 4 میں ناتراکب مجموعات۔
 
 
سطر 58:
 
===سکیڑ اور پھیلاؤ===
اگر <math>\ T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> ایسا [[لکیری استحالہ]] ہو، جو مجموعہطاقم کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر <math>\ 0<s<1</math> تو اس کو ''سکیڑنا'' کہیں گے (تصویر 5)، اور اگر <math>\ s>1</math> تو اسے ''پھیلانا'' کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے مجموعہطاقم کو سکیڑ کر سرخ مجموعہطاقم بنتا دکھایا گیا ہے۔
 
[[Image:decompose_self_similar.png|thumb|center|300px|تصویر 6]]
 
== خود مشابہ مجموعہطاقم==
ایک بند اور تحیط مجموعہطاقم (جو <math>\mathbb{R}^2</math> کا ذیلی مجموعہطاقم ہو) کو ''خود مشابہ'' کہا جائے گا، اگر اس مجموعہطاقم ''S'' کو یوں لکھا جا سکے
:<math>S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n</math>
جہاں <math>S_1, S_2, \cdots, S_n</math> ناتراکب مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے ''S'' کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد <math>\ 0<s<1</math> ہے)۔ یہاں علامت <math>\cup</math> اتحاد کے لیے استعمال ہوئ ہے۔
 
 
تصویر 6 میں مجموعہطاقم ''S'' کو چار مجموعات <math>S_1, S_2, S_3, S_4 </math> کے اتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد <math> s=\frac{1}{2} </math> ہے۔
ان ذیلی مجموعات کو سے ان [[مماثلتیہ]] کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:
:<math>S_1=T_1(S), \, S_2=T_2(S), \, S_3=T_3(S), \, S_4=T_4(S) </math>
سطر 145:
یہاں یہ واضح کر دیں کہ تصویر 9 ایک حد تک تفصیل میں دکھائی جا سکتی ہے۔ بہت چھوٹی تفصیل واضح ہونا تصویر میں ممکن نہیں۔
 
یہ واضح کرنے کے لیے کہ شیرپنسکی تکون، "خود مشابہ مجموعہطاقم" کی تعریف پر پورا اترتی ہے، ہم نے تصویر 10 مین جان بوجھ کر اسے تین حصوں <math>S_1, S_2, S_3</math> میں بانٹ کر دکھایا ہے، اس طرح کہ ہر حصہ بڑے سیرپنسکی [[تکون]] ''S'' (تصویر 9) پر ایک مماثلتیہ <math>T_1, T_2, T_3</math> کے عمل سے بنا ہے، اور
:<math>S = S_1 \cup S_2 \cup S_3</math>
یاد رہے کہ ان تین حصوں <math>S_1, S_2, S_3</math> میں سے ہر حصہ بھی "خود مشابہ" ہے، اور یہ بات ان حصوں کے اسطرح مذید حصے کرنے پر بھی برحق ہے (کیونکہ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے)۔
سطر 151:
 
=== مسلئہ اثباتی===
اگر <math>T_1, T_2, \cdots, T_n </math> سکڑنے والی [[مماثلتیہ]] ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند، اور محیط مجموعہطاقم ''S'' ہو گا، جبکہ
:<math>S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup \cdots \cup T_n(S) </math>
اور اگر مجموعات <math>\ T_1(S), T_2(S), \cdots, T_n(S) </math> ناتراکب ہوں، تو مجموعہطاقم ''S'' خود مشابہ ہو گا۔
 
 
===خود مشابہ مجموعہطاقم بنانے کا الخوارزم ===
یہ مسلئہ اثباتی اس مجموعہطاقم کو نکالنے کا کوئ طریقہ نہیں بتاتا۔ اگر مسلئہ اثباتی کی عبارت کے مطابق <math>T_1, T_2, \cdots, T_n</math> مماثلتیہ ہوں اور ایک "خود مشابہ مجموعہطاقم" ''S'' کو جنم دیتے ہوں، تو یہ مجموعہطاقم نکالنے کے لیے ایک تصادفی [[الخوارزم]] نیچے دیا ہے:
 
# پلین میں ایک نکتہ <math>\ (x,y) </math> چنو
# ایک تصادفی تجربہ سے [[تصادفی متغیر]] جنم دو، جس کی قدر 1 سے ''n'' تک ہو۔ فرض کرو کہ قدر ''j'' آتی ہے۔
# اب مماثلتیہ <math>T_j</math> چنو، اور نکتہ <math>\ (x,y) </math> کو اس میں سے گزار کر نیا نکتہ حاصل کرو۔ اس نئے نکتہ کو پلاٹ کر دو۔ (یہ نکتہ مجموعہطاقم ''S'' کا حصہ ہے۔)
# اس نئے نکتہ <math>\ (x,y) </math> کو لے کر، سیڑھی 2 پر جا کر یہ طریقہ دہراتے رہو (جبتک تصویر نکھر آئے۔)
 
اخذ کردہ از «https://ur.wikipedia.org/wiki/خود_مشابہ_مجموعہ_(مستوی_میں)»