"ویژہ قدر" کے نسخوں کے درمیان فرق

97 بائٹ کا اضافہ ،  13 سال پہلے
م
روبالہ ترمیم: nn:Eigenverdi, eigenvektor og eigerom; cosmetic changes
م (روبالہ ترمیم: zh:特征向量)
م (روبالہ ترمیم: nn:Eigenverdi, eigenvektor og eigerom; cosmetic changes)
{{اصطلاح برابر|
ویژہ قدر <br /> ویژہ سمتیہ <br /> ویژہ فضاء |
eigenvalue <br /> eigenvector <br /> eigenspace }}
ایک [[سمتیہ]] [[Function|فنکشن]] <math>\ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n </math> کے لیے اگر سمتیہ کی ایسی قیمت <math>\ X=X^*</math> موجود ہو جس کے لیے،
<div align="center">
</div>
اس مساوات کو یوں لکھا جا سکتا ہے (جہاں ''I'' [[شناخت میٹرکس]] ہے)
<br />
<math>\ A X - \lambda X = 0</math> <br />
<math>\ (A - \lambda I) X = 0</math> <br />
اب یہ اسی صورت ممکن ہے، جب کہ بائیں ہاتھ کی [[میٹرکس]] کا [[دترمینان]] صفر ہو
<br /><math>\ \det(A - \lambda I) = 0</math> <br />
اس طرح ہمیں <math>\ \lambda</math> میں درجہ ''n'' کی مساوات مل جاتی ہے، جس کا حل ہمیں <math>\ \lambda</math> کی ''n'' قدریں دے سکتا ہے۔ ان میں سے کسی بھی ویژہ قدر <math>\ \lambda</math> کے لیے میٹرکس <math>\ A - \lambda I</math> کا رتبہ ''n'' سے کم ہو گا، اس لیے سمتیہ ''X'' کے ایک جُز کی کوئی قدر فرض کر کے ہم باقی اجزا کی قدر ''n-1'' [[یکلخت لکیری مساوات کا نظام| یکلخت لکیری مساوات]] کو حل کر کے نکال سکتے ہیں۔ اس طرح ہمیں میٹرکس ''A'' کا ایک ویژہ سمتیہ معلوم ہو جائے گا۔
 
=== مثال 1 ===
میٹرکس
<math>A =\left[ \begin{matrix}
</math>
کے ویژہ قدریں اور ویژہ سمتیے نکالتے ہیں۔
<br />
اب دترمینان کے زریعے
<math>\det \left[ \begin{matrix}
</math>
ہمیں یہ مساوات ملتی ہے، جسے حل کر کے دو ویژہ قدریں مل جاتی ہیں:
<br />
<math>(3-\lambda)(3-\lambda) - 16 =0 </math><br />
<math>\lambda^2 -6 \lambda - 7 =0 </math><br />
<math>\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{6^2 -4 (1)(-7)}}{2(1)} </math><br />
اور اس طرح ہمیں دو وہژہ قدریں مل جاتی ہیں:
<math>\lambda_0 = 7\,,\, \lambda_1= -1 </math><br />
اب پہلی ویژہ قدر کو استعمال کرتے ہوئے دو یکلخت لکیری مساوات ملتی ہیں۔
<br />
<math> \left[ \begin{matrix}
3-7 & 4 \\
\end{matrix}\right]
= 0
</math> <br />
<math>\begin{matrix}
-4 x_0 &+& 4 x_1 &=& 0 \\
4 x_0 &-& 4 x_1 &=& 0
\end{matrix}
</math><br />
 
غور کرو تو دوسری مساوات کو ‎-1 سے ضرب دے کر پہلی مساوات حاصل ہو جاتی ہے، یعنی مساوات [[لکیری آزادی| لکیری آزاد]] نہیں۔ اس لیے ہم دوسری مساوات میں <math>\ x_0=1</math> فرض کر لیتے ہیں، تو <math> x_1=1 </math> مل جاتا ہے۔ اسی طرح دوسری ویژہ قدر کے لیے بھی ویژہ سمتیہ نکالا جا سکتا ہے۔ یہ دو ویژہ سمتیے یوں ہیں:
<math>
V_0 = \left[ \begin{matrix}
-1
\end{matrix}\right]
</math><br />
ویژہ سمتیہ کی میٹرکس یوں لکھی جا سکتی ہے:
<math>
1 & -1
\end{matrix}\right]
</math><br />
[[Imageتصویر:eig_sym_matrix_ellipse.png]]<br />
تصویر میں دیکھو کہ یہ میٹرکس تفاعل نیلے دائرے کو سرخ بیضوی شکل میں بھیجتی ہے۔ بیضوی شکل کی لمبائی اور چوڑائی کا تناسب (ratio) ‏7 ہے، جو اس میٹرکس کی دو ویژہ قدروں کا تناسب ہے۔ ویژہ سمتیہ کو تصویر میں کالی لکیروں سے دکھایا گیا ہے۔ ملاحظہ ہو کہ یہ سمتیہ بیضوی شکل کےدُھرا (axis) کے متوازی ہیں، اور آپس میں قائم الزاویہ ہیں۔ (اگر میٹرکس [[متناظر میٹرکس|متنانظر]] (symmetric) نہ ہوتی، تو ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ نہ ہوتے۔) غور کرو کہ عام فضا (جس میں نیلا دائرہ ہے ) کے بنیاد سمتیہ یہ ہیں (تصویر میں تانے بانے کی لکیروں میں دیکھو) :
<math>
1
\end{matrix}\right]
</math><br />
جو کہ شناخت میٹرکس کے ویژہ سمتیہ ہیں۔
 
ایک میٹرکس کی کچھ ویژہ قدر [[مختلط عدد]] بھی ہو سکتی ہیں، جس صورت میں ویژہ سمتیہ بھی مختلط ہونگے اور ان کی جیومیٹریکل سمجھ پیدا نہیں ہوتی۔ یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ایک سے زیادہ ویژہ قدر برابر ہوں (منفرد نہ ہوں)، اور اس صورت میں پورے ''n'' ویژہ سمتیہ نہ نکالے جا سکیں <ref>http://math.rwinters.com/E21b/supplements/newbasis.pdf</ref>۔
 
=== مسلئہ اثباتی 1 ===
اگر ایک <math> n \times n </math> مربع میٹرکس ''A'' کی تمام ویژہ قدریں اصل ([[مختلط عدد|مختلط]] نہیں) عدد <math>\ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1} </math> ہوں، اور اس میٹرکس کے ''n'' [[لکیری آزادی|لکیری آزاد]] ویژہ سمتیہ <math>\ V_0, V_1, \cdots, V_{n-1} </math> نکالے جا سکتے ہوں (یہاں ہر ویژہ سمتیہ ایک <math>\ n \times 1</math> میٹرکس ہے)،
<br />
اب ویژہ سمتی کو اکٹھا بطور میٹرکس، اور ویزہ قدروں کو ایک [[وتر میٹرکس]] کے بطور یوں لکھتے ہوئے:
<br />
<math>\begin{matrix} V=[V_0 & V_1 & \cdots & V_{n-1}]
\end{matrix}\,,\,
\end{matrix}\right]\,,
</math>
<br />
یہ سچ ہو گا کہ
<math> A = V \Lambda V^{-1} </math>
<br />
اسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے، یعنی ایک میٹرکس کو وتر میٹرکس میں بدلا جا سکتا ہے، ویژہ سمتیہ میٹرکس کی
مدد سے
اس سے یہ نتیجہ بھی اخذ کیا جا سکتا ہے کہ
<math> \det(A) = \det(\Lambda) = \prod_{j=0}^{n-1} \lambda_j</math>
<br />
چونکہ <math> \det(V^{-1}) = 1 / \det(V)</math>
 
=== مسلئہ اثباتی 2 ===
اگر میٹرکس ''A'' ایک [[متناظر میٹرکس]] ہو، تو اوپر والا مسلئہ اثباتی ۱ کی شرائط ہمیشہ پوری ہونگی اور اس کے علاوہ ویژہ سمتیہ آپس میں [[قائم الزاویہ (میٹرکس)|قائم الزاویہ]] ہونگے۔ اور
<div align="center">
<math> A = V \Lambda V^{-1} </math> <br />
<math> \Lambda = V^{-1} A V</math>
</div>
اگر تمام ویژہ سمتیہ کی مطلق قدروں کو 1 کر کیا جائے، تو ویزہ سمتیہ کی میٹرکس ''V'' [[قائم الزاویہ (میٹرکس)|قائم الزاویہ]] ہو گی، اور اسلیے <math>\ V^{-1}=V^t </math> (جہاں<math>\ V^t</math> میٹرکس ''V'' کا [[پلٹ (میٹرکس)|پلٹ]] کر بنتی ہے)۔ اس صورت میں
<div align="center">
<math> A = V \Lambda V^{-1} = V \Lambda V^{t}</math> <br />
<math> \Lambda = V^{-1} A V = V^{t} A V</math>
</div>
 
=== مثال 2 ===
اوپر والی مثال ۱ میں:
<math> V \Lambda V^{-1} =
=A
</math>
<br />
اور یہ بھی تسکین کر لو کے کہ
<br />
<math>
\det(A) = 3 \times 3 - 4 \times 4 = -7 \,,\, \det(\Lambda)=7 \times -1 = -7
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right]
</math><br />
اب مسلئہ اثباتی ۲ کی رو سے (یاد رہے کہ ''A'' [[متناظر میٹرکس]] تھی)
<math> V \Lambda V^t =
=A
</math>
<br />
 
== ویژہ کثیر رقمی ==
<math>\ n \times n</math> مربع میٹرکس <math>\ A</math> کے لیے،<math>\ \det(A - \lambda I) = 0</math> ، متغیر <math>\lambda</math> میں ایک درجہ ''n'' کا [[کثیر رقمی]] ہے، جس کو ''ویژہ کثیر رقمی'' (characteristic polynomial) کہتے ہیں۔
:<math>\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)=
</math>
 
== اور دیکھو ==
* [[میٹرکس]]
* [[چکوری ہئیت]]
* [[سائیلیب]] (help spec)
 
== حوالہ جات ==
 
<references/>
{{ریاضی مدد}}
[[زمرہ:لکیری الجبرا]]
[[Categoryزمرہ: ریاضیات]]
 
{{Link FA|es}}
[[ja:固有値]]
[[no:Egenvektor]]
[[nn:Eigenverdi, eigenvektor og eigerom]]
[[nn:Eigenverdilikning]]
[[pl:Wartość własna]]
[[pt:Valor próprio]]
58,766

ترامیم