"عائلری کلیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
م درستی املا بمطابق فہرست املا پڑتالگر |
م خودکار: خودکار درستی املا ← ہیئت، اور، سے، سے، اس طرح |
||
سطر 2:
[[لیونہارڈ اویلر|عائلر]] کے نام پر یہ کلیہ، ریاضیات میں [[مختلط تحلیل]] کا ہے، جو [[trigonometric functions|مثلشیاتی دالہ]] اور مختلط [[اسی دالہ|اَسّی دالہ]] کے درمیان گہرے تعلق کا پتہ دیتا ہے۔ عائلر کلیہ کا بیان ہے کہ، کسی [[حقیقی عدد]] ''x'' کے لیے:
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>
جہاں [[e (ریاضیاتی دائم)|''e'' قدرتی لاگرتھم کی اساس]] ہے، ''i'' [[imaginary unit|تخیلی اکائی]]
جب ''x'' مختلط ہو، تب بھی یہ کلیہ لاگو رہتا ہے۔
[[رچرڈ فلپ فے مین|رچرڈ فینمان]] نے اس کلیہ کو "ہمارا گوہر" کہا
== تاریخ ==
اس کلیہ کو سب سے پہلے [[Roger Cotes|راجر کوتیس]] نے 1714ء میں مثبوت کیا، اس
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
(جہاں ''ln'' علامت ہے قدرتی لاگرتھم کی، یعنی لاگرتھم اساس ''e'' پر)۔
پھر عائلر نے اس اپنی موجودہ
== مختلط نظریہ عدد میں اطلاق ==
[[تصویر:Euler's formula.svg|thumb|left]]
: <math>e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \!</math>
اس کلیہ کی تشریح یوں کی جا سکتی ہے کہ فنکشن ''e''<sup>''iφ''</sup> مختلط مستوی میں [[ایکائی دائرہ]] نقش کرتی ہے جب ''φ'' حقیقی اعداد کا احاطہ کرتا ہے۔ یہاں ''φ'' وہ [[زاویہ]] ہے جو دائرہ پر نقطہ کو مبدا سے ملانے والی لکیر اور "مثبت افقی محور" کے درمیان ہے، جسے اُلٹی گھڑی کی
اصل ثبوت [[اسی دالہ|اَسّی دالہ]] ''e''<sup>''i x''</sup> (جہاں ''x'' حقیقی عدد ہے) اور sin ''x'' اور cos ''x'' کے [[ٹیلر سلسلہ]] میں پھیلاو پر مبنی ہے۔ دراصل اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کلیہ تمام مختلط عدد ''z'' کے لیے بھی لاگو ہے۔
سطر 30:
<math>\phi </math> ''[[arg (mathematics)|استدلال]]'' ہے ''z'' کا—یعنی سمتیہ ''z'' اور محدر ''x'' کے درمیاں اُلٹی گھڑی کی جانب قطریہ میں ناپے جانے والا زاویہ، جو 2π کی جمع تک تعریف ہوتا ہے۔
:<math>a = e^{\ln (a)}\,</math>
سطر 51:
== مثلثیات سے رشتہ ==
[[ریاضیاتی تحلیل|تحلیل]] اور [[مثلثیات]] کے بین عائلری کلیہ طاقتور رشتہ فراہم کرتا
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>
سطر 74:
</math>
ایک اور طراز ہے کہ جیبات کو مختلط تعبیر کے حقیقی حصہ کے طور لکھا
: <math>
\begin{align}
سطر 86:
== دوسری اطلاقیہ ==
برقی انجینئری میں [[signal|اشارہ]] کو [[Fourier analysis|فوریئر تحلیل]] کے ذریعہ جیبات کی تولیف سے لکھا جاتا
== اور دیکھو ==
| |||