"لونی کثیر رقمی" کے نسخوں کے درمیان فرق

حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
م خودکار: اضافہ مساوی زمرہ جات
م خودکار: خودکار درستی املا ← اس طرح، سے، اور، سے
سطر 5:
نقشہ (ممالک کے) میں رنگ بھرتے ہوئے دو ہمسایہ اضلاع جن کی سرحد بے اصل نہ ہو (یعنی نقطہ سے زیادہ ہو) پر مختلف رنگ چننے ہوتے ہیں۔ اگر نقشہ ''M'' میں بھرنے کے لیے آپ کے پاس <math>\lambda</math> رنگ ہوں، تو رنگ بھرنے کی راہوں کی تعداد ایک [[کثیر رقمی]] <math>\ P(M,\lambda)</math> سے دی جا سکتی ہے،
:<math>\ P(M,\lambda) = c_0 + c_1 \lambda + c_2 \lambda^2 + \cdots + c_k \lambda^k</math>
جہاں <math>c_0, c_1, \cdots, c_k</math> صحیح اعداد ہیں،ہیں اور نقشہ میں اضلاع کی تعداد ''k'' ہے۔ (یہاں ہم یہ سمجھتے ہیں کہ کوئی ملک دو بچھڑے ہوئے اضلاع پر مشتمل نہیں ہے۔) اس کثیر رقمی کو 'لونی کثیر رقمی '' کہا جاتا ہے۔
 
مثلاً دو اضلاع کے نقشہ <math>M_1</math> میں پہلے ضلع کے لیے رنگ چننے کی راہیں <math>\lambda</math> ہیں،ہیں اور دوسرے ضلع کے لیے <math>\lambda-1</math>، اس لیے نقشہ میں رنگ بھرنے کی راہیں
:<math>\ P(\lambda,M_1) = \lambda(\lambda-1) = \lambda^2-1 </math>
ہیں۔
 
تصویر میں نقشہ M<sub>4</sub> زیادہ پچیدہ ہے۔ ضلع ''د'' اور ''ب'' کے رنگ مختلف ہوں گے، مگر ضلع ''د'' اور ''ج'' کا رنگ ایک ہی ہو سکتا ہے۔ اس طرح دو صورتیں ہیں:
#ضلع "ب" اور "ک" کا رنگ ایک ہے: ضلع "د" کے <math>\lambda</math> رنگ ممکن ہیں،ہیں اور "ب" اور "ک" کے مشترکہ رنگ کے <math>\lambda-1</math> ممکن،ممکن اور "ج" کے <math>\lambda-1</math> ممکن (کیونکہ اس کا رنگ وہی جو "د" کا ہے ہو سکتا ہے)۔
#ضلع "ب" اور "ک" کے رنگ مختلف ہیں: ضلع "د" کے <math>\lambda</math> رنگ ممکن ہیں، "ب" کے <math>\lambda-1</math>، "ک" کے <math>\lambda-2</math>، اور "ج" کے <math>\lambda-2</math> ("ج" کا رنگ "ب" اور "ک" جیسا نہیں ہو سکتا)۔
ان دونوں صورتوں کی راہوں کو جمع کر کے لونی کثیر رقمی بنتا ہے:
:<math>\ P(M_4,\lambda) = \lambda(\lambda-1)^2 + \lambda (\lambda-1)(\lambda-2)^2
سطر 20:
[[Image:graph_m4_example.svg|left|frame|تصویر 2: M<sub>4</sub> کا مخطط]]
 
ملصق نقشہ کے ساتھ ہم ملصق [[مخطط (ریاضی)|مُخطط]] مشارک کر سکتے ہیں، اسطرحاس طرح کہ نقشہ کے ضلع سے مخطط کے قمہ کو مشارک کر دیا جائے،جائے اور اگر دو اضلاع میں مشترکہ سرحد ہو تو مشارکہ اقمات کو کنار (لکیر) کے ساتھ جوڑ دیا جائے۔ تصویر 2 میں تصویر 1 کے نقشہ سے مشارک مخطط دکھایا گیا ہے۔ نقشہ میں یوں رنگ بھرنے کہ مشترکہ سرحد والے اضلاع مختلف رنگی ہوں کے حوالے سے ضروری ہے کہ مخطط کی اقمات کو یوں رنگا جائے کہ جو دو اقمات کنار سے جڑی ہوں وہ مختلف رنگ میں ہوں۔ تصویر 2 میں "ب" اور "ک" اقمات چونکہ آپس میں کنار سے جڑی نہیں ہوئی، اس لیے یہ ایک ہی رنگ کی جا سکتی ہیں۔ جس طرح نقشہ کے لیے لونی کثیر رقمی تعریف کیا گیا ہے، اسی طرح مخطط کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے: مخطط کا لونی کثیر رقمی مخطط کے اقمات کو رنگ کرنے کی راہیں بتاتا ہے، اس طرح کہ وہ اقمات جو کنار کے ذریعہ ملی ہوں مختلف رنگ میں ہوں۔
 
اگرچہ [[Plane|مستوی]] میں کسی بھی نقشہ کا مخطط بنایا جا سکتا ہے، مگر ہر مخطط کا مستوی میں نقشہ ہونا ممکن نہیں ہوتا۔