"ویژہ قدر" کے نسخوں کے درمیان فرق

جہاں ''X'' ایک <math>\ n \times 1 </math> میٹرکس (سمتیہ) ہے،ہے اور ''A'' کا سائیز <math>\ n \times n </math> ہے۔ اب ہمیں ایسے ''X'' اور <math>\ \lambda</math> نکالنے ہیں کہ

تصویر میں دیکھو کہ یہ میٹرکس تفاعل نیلے دائرے کو سرخ بیضوی شکل میں بھیجتی ہے۔ بیضوی شکل کی لمبائی اور چوڑائی کا تناسب (ratio) ‏7 ہے، جو اس میٹرکس کی دو ویژہ قدروں کا تناسب ہے۔ ویژہ سمتیہ کو تصویر میں کالی لکیروں سے دکھایا گیا ہے۔ ملاحظہ ہو کہ یہ سمتیہ بیضوی شکل کےدُھرا (axis) کے متوازی ہیں،ہیں اور آپس میں قائم الزاویہ ہیں۔ (اگر میٹرکس [[متناظر میٹرکس|متنانظر]] (symmetric) نہ ہوتی، تو ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ نہ ہوتے۔) غور کرو کہ عام فضا (جس میں نیلا دائرہ ہے ) کے بنیاد سمتیہ یہ ہیں (تصویر میں تانے بانے کی لکیروں میں دیکھو) :

ایک میٹرکس کی کچھ ویژہ قدر [[مختلط عدد]] بھی ہو سکتی ہیں، جس صورت میں ویژہ سمتیہ بھی مختلط ہونگے اور ان کی جیومیٹریکل سمجھ پیدا نہیں ہوتی۔ یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ایک سے زیادہ ویژہ قدر برابر ہوں (منفرد نہ ہوں)، اور اس صورت میں پورے ''n'' ویژہ سمتیہ نہ نکالے جا سکیں <ref>http://math.rwinters.com/E21b/supplements/newbasis.pdf</ref>۔

اگر ایک <math> n \times n </math> مربع میٹرکس ''A'' کی تمام ویژہ قدریں اصل ([[مختلط عدد|مختلط]] نہیں) عدد <math>\ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1} </math> ہوں،ہوں اور اس میٹرکس کے ''n'' [[لکیری آزادی|لکیری آزاد]] ویژہ سمتیہ <math>\ V_0, V_1, \cdots, V_{n-1} </math> نکالے جا سکتے ہوں (یہاں ہر ویژہ سمتیہ ایک <math>\ n \times 1</math> میٹرکس ہے)،

اب ویژہ سمتی کو اکٹھا بطور میٹرکس،میٹرکس اور ویزہ قدروں کو ایک [[وتر میٹرکس]] کے بطور یوں لکھتے ہوئے:

مدد سے

اگر تمام ویژہ سمتیہ کی مطلق قدروں کو 1 کر کیا جائے، تو ویزہ سمتیہ کی میٹرکس ''V'' [[قائم الزاویہ (میٹرکس)|قائم الزاویہ]] ہو گی،گی اور اسلیےاس لیے <math>\ V^{-1}=V^t </math> (جہاں<math>\ V^t</math> میٹرکس ''V'' کا [[پلٹ (میٹرکس)|پلٹ]] کر بنتی ہے)۔ اس صورت میں