ویکیپیڈیا

"گروہ (ریاضی)" کے نسخوں کے درمیان فرق

تاریخچہ دیکھیں
→ گزشتہ ترمیماگلی ترمیم ←
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
بصریویکی متن
تحسینی تبدیلی+درستی املا, typos fixed: کوئ ← کوئی (4), مسلئہ ← مسئلہ using AWB
م خودکار: خودکار درستی املا ← اس طرح، اور، سے، سے، غیر، اس لیے
سطر 2:
گروہ<br /> شناخت<br /> عنصر <br />عالجہ<br /> ثنائ <br /> مجموعہ<br /> متناظر|
group <br /> identity <br /> element <br /> operator <br /> binary <br /> set <br /> symmetric}}
''گروہ'' عناصر کا ایسا مجموعہ ہوتا ہے، جس میں ایک عالج متعرف ہوتا ہے، کہ کسی بھی دو عناصر کو عالج سے گزار کر اسی مجموعہ کا عنصر حاصل ہوتا ہے۔ '''گروہ''' کے لیے کچھ مسلمات پورے ہونا ضروری ہوتا ہے، جو [[Associativity|مشارکی]]، شناخت عنصر،عنصر اور اُلٹ عنصر کے متعلق ہوتے ہیں۔ صحیح اعداد کا مجموعہ، جمع کے عالج کے ساتھ، ایک گروہ ہے، کہ کسی بھی دو اعداد کو جمع کر کے [[صحیح عدد]] ملتا ہے، صفر (شناخت عنصر) کو کسی بھی عدد میں جمع کرنے سے اس عدد میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی، کسی عدد کے منفی (اُلٹ عنصر) کو اس میں جمع کرنے سے صفر ملتا ہے،ہے اور جمع مشارکی خصوصیت رکھتی ہے۔
 
تعریف: عناصر کا غیرخالیغیر خالی مجموعہ ''G'' ایک ثنائ عالج <math>\circ</math> کے ساتھ، ''گروہ'' کہلاتا ہے اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:
 
* اگر <math>a \in G</math> اور <math>b \in G</math>، تو پھر <math>a \circ b \in G</math>
سطر 47:
اگر <code dir="ltr">f(.)</code> اور <code dir="ltr">g(.)</code> کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہوں اعداد <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> پر، تو ان فنکشن کی [[composition|ترکیب]]
<math>f \circ g(k) = f(g(k))</math>
بھی ان اعداد کی تبدل کامل ہو گی۔ اسطرحاس طرح گروہ کا پہلا مسلمہ پورا ہوتا ہے، عناصر ''f'' اور ''g'' کے لیے۔
 
شناخت عنصر کے لیے ہم فنکشن تعریف کرتے ہیں
سطر 98:
<td> n
</table>
اس کا اُلٹ ہے،ہے اور اسے <math>f^{-1}(.)</math> کہہ سکتے ہیں،
:<math>f(f^{-1}(k)) = f^{-1}(f(k)) = k</math>
یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہوتا ہے۔
 
اگر ''g''، ''f''، اور ''h'' ، کوئی تبدل کامل فنکشن ہوں، تو چوتھا مسلمہ بھی پورا ہونے کی تصدیق کی جا سکتی ہے
:<math>(f \circ g) \circ h(k) =(f \circ g) ( h(k) ) = f(g(h(k))) = f \circ (g \circ h) (k) </math>
 
پس ثابت ہوا کہ مجموعہ <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> کے تمام تبدل‌کامل ایک گروہ بناتے ہیں۔ خیال رہے کہ ان تبادل‌کامل کی تعداد [[عاملیہ|<math>n!</math>]] ہے، یعنی اس گروہ کے عناصر کی تعداد <math>n!</math> ہے۔ اس گروہ کی اہمیت نیچے دیے "متشاکل کیلے مسلئہ اثباتی" کی بدولت ہے۔ اس گروہ کو ''متناظر گروہ'' کہا جاتا ہے،ہے اور <math>S_n</math> کی علامت سے لکھا جاتا ہے۔
 
=== خوائص ===
سطر 119:
تمام عناصر <math>a, b \in G</math> کے لیے۔
 
مثال کے طور پر صحیح اعداد کا گروہ، جمع عالج،عالج اور صفر شناخت، کے ساتھ مبدلی ہے۔
 
تبدل کامل کی فنکشن ''f'' یوں تعریف کرو
سطر 161:
اور
<math> g \circ f(1)= g(f(1)) = g(4) = 4 </math>
اس لیے
اسلیے
:<math> f \circ g \ne g \circ f </math>
اور تبدل کامل کا گروہ مبدلی نہیں۔
سطر 170:
 
== ذیلی گروہ ==
اگر [[طاقم|مجموعہ]] ''G'' کے عناصر عالجہ <math>\circ</math> کے لحاظ سے گروہ بنائیں،بنائیں اور مجموعہ ''G'' کا ذیلی مجموعہ ''H'' ہو، اسطرحاس طرح کہ ''H'' کے عناصر بھی عالجہ <math>\circ</math> کے لحاظ سے گروہ بنائیں، تو ہم کہیں گے کہ ''H'' ''ذیلی گروہ'' ہے گروہ ''G'' کا۔
غیرخالیغیر خالی ذیلی مجموعہ ''H'' ذیلی‌گروہ ہو گا اگر نیچے دی شرائط پوری ہوں:
* اگر <math>a \in H</math>، تو <math>a^{-1} \in H</math>
* اگر <math>a \in H</math> اور <math>b \in H</math>، تو <math>a \circ b \in H</math>
 
=== قضیہ ===
اگر ''G'' متناہی گروہ ہو، تو "G'' کا غیرخالیغیر خالی ذیلی مجموعہ ''H'' ذیلی‌گروہ ہو گا، اگر
:<math>a \in H, b \in H \Rightarrow a \circ b \in H</math>
 
سطر 183:
isomorphic <br /> one-to-one correspondence}}
== متشاکل ==
دو گروہوں ''G'' اور ''H'' کو متشاکل کہیں گے اگر ان کے عناصر کے درمیان ارتباط واحد الواحد قائم کیا جا سکے اسطرحاس طرح کہ یہ ارتباط عناصر کے عالجہ سے گزارنے کے بعد بھی قائم رہے۔ اگر <math>g\in G</math> اور <math>h\in H</math>، تو ان عناصر کے درمیان ارتباط کو <math>g\leftrightarrow h</math> لکھا جاتا ہے۔ اب اگر <math>g_1\leftrightarrow h_1</math> اور <math>g_2\leftrightarrow h_2</math>، تو متشاکل کی شرط ہے کہ
:<math>g_1 \circ g_2\leftrightarrow h_1 \circ h_2</math>
دوسرے الفاظ میں گروہ ''G'' اور ''H'' دراصل ایک ہی ہیں، صرف ان کے عناصر کے نام مختلف رکھے ہوئے ہیں۔
سطر 192:
یہ مسلئہ [[آرتھر کیلے|کیلے]] گروہ متشاکل ملسئہ اثباتی کہلاتا ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ تبدلکامل کا ذیلی‌گروہ کیسا ہو گا، ''G'' کے عناصر کا <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> نام رکھ دو۔ عنصر ''k'' کے ہمشکل تبدلکامل دالہ <math>f_k</math> یوں تعریف کرو
:<math>f_k(i) = k \circ i</math>
تبدلکامل کا یہ گروہ <math>\{f_1, f_2,\cdots,f_n\}</math> ہو گا،گا اور <math>f_{k \,\circ\, j} = f_k \cdot
f_j</math>،
یعنی <math>f_k</math> اور <math>f_j</math> کی ترکیب۔
سطر 201:
== رُتبہ اور دَوری گروہ ==
کسی گروہ میں عناصر کی تعداد کو اس گروہ کا ''رتبہ'' کہا جاتا ہے۔ اگر ''g'' عنصر ہو گروہ ''G'' کا (<math>g \in G</math>)، تو <math>\{g, g^2, g^3, \cdots \}</math>
گروہ ''G'' کا ذیلی گروہ ہو گا۔ اگر ''r'' چھوٹا ترین صحیح عدد ہو جس کے لیے <math>g^r=I</math> (جہاں ''I'' شناخت عنصر ہے) تو یہ ذیلی‌گروہ <math>\{g^1, g^2, g^3, \cdots, g^r \}</math> ہو گا،گا اور اس گروہ کو ''g'' سے تولید شدہ ''دوری ذیلی‌گروہ'' کہا جاتا ہے۔ اس دوری ذیلی‌گروہ میں عناصر کی تعداد ''r'' ہے،ہے اور اس گروہ کا رتبہ ''r'' ہے۔ چونکہ یہ گروہ عنصر ''g'' سے تولید شدہ ہے، اس لیے ''r'' کو عنصر ''g'' کا رتبہ بھی کہا جاتا ہے۔
خیال رہے کہ اُوپر
سطر 229:
</table>
جو گروہ
<math>\{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6\}</math> بناتی ہیں۔ عنصر <math>f_4</math> یہ دوری ذیلی‌گروہ <math>\{f_4, f_5, f_1\}</math> تولید کرتا ہے،ہے اور عنصر <math>f_4</math> کا رتبہ 3 ہے۔
 
{{اصطلاح برابر|
سطر 261:
 
* اگر ''G'' متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ ''n'' ہو، تو اس گروہ کے کسی بھی عنصر <math>g\in G</math> کے لیے <math>g^n = I</math>
* اگر ''G'' متناہی گروہ ہو جس کا مرتبہ ''n'' ہو،ہو اور ''n'' [[اولی عدد|مفرد عدد]] ہو، تو گروہ ''G'' دَوری ہو گا،گا اور نتیجتاً مبدلی۔
 
== اور دیکھو ==
اخذ کردہ از «https://ur.wikipedia.org/wiki/گروہ_(ریاضی)»