"مدیدی سمتیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق

<td>[[Imageتصویر:Simtia_basis_r2.png]]</td>

(شکل 4 میں سرخ نکتے) <math>\mathbb{R}^2</math> کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ <math>\mathbb{R}^2</math> فضاء کا کوئی بھی نکتہ ان دو سمتیوں کے لکیری تولیف کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نکتہ‭نکتہ''(x,y)''‬ یوں لکھ سکتے ہیں:

اب نکتہ ‭''(x,y)''‬ کو ان سبز سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:

یعنی سرخ دھرا کے نکتہ ‭''(x,y)'' ‬ کو سبز دھرا میں نکتہ ‭''(a,b)''‬ کہا جائے گا۔ دوسرے الفاظ میں جو نکتہ

مدیدی سمتیہ ‭''e0, e1'' ‬ کے حوالے سے ‭''(x=0.8, y=1.4)''‬ تھا، وہی نکتہ مدیدی سمتیہ ‭''v0, v1'' ‬ کے حوالے سے ‭''(a=1.56, b=0.42)''‬ کہلائے گا۔

اب ‭''e0, e1, v0, v1''‬ بھی ایک مدیدی سمتیہ کا مجموعہ ہے۔ اس مجموعہ کی مدد سے ہم اسی ‭''(x=0.8, y=1.4)'' ‬ نقطہ کو لکھ کر دیکھتے ہیں:

حل کر کے ‭''c0, c1, c2, c3''‬ نکالنا ہیں۔ اب چونکہ مساوات صرف دو ہیں جبکہ متغیر چار، اس لیے ہم کسی بھی دو متغیر کو اپنی مرضی کی قدر دے کر باقی دو متغیر کی قدریں مساوات سے نکال سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں مساوات کے لامحدود حل ہیں، جن میں سے چند یہ ہیں:

‭<table border="1" cellpadding=".1">

</table>‬

اس سے پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہ‭سمتیہ''e0, e1, v0, v1''‬ کے حوالہ سے نکات کا ایک واحد روپ نہیں۔ شکل 4 سے ظاہر ہے کہ <math>\mathbb{R}^2</math> میں کوئی بھی دو سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، نکات کا واحد روپ نکالنے کے لیے کافی ہیں۔ <math>\mathbb{R}^2</math> میں دو سے زیادہ سمتیہ چننے سے ایک ہی نکتہ کے بہت سے روپ ممکن ہو جاتے ہیں۔ یہ بات ہمیں [[بنیاد سمتیہ]] کی طرف لے جاتی ہے۔