|
= \lambda^4 - 4 \lambda^3 + 6 \lambda^2 - 3 \lambda
</math>
[[فائل:graph_m4_example.svg|بائیں|frame|تصویر 2: M<sub>4</sub> کا مخططگراف]]
ملصق نقشہ کے ساتھ ہم ملصق [[مخططگراف (ریاضی)|مُخطط]] مشارک کر سکتے ہیں، اس طرح کہ نقشہ کے ضلع سے مخططگراف کے قمہ کو مشارک کر دیا جائے اور اگر دو اضلاع میں مشترکہ سرحد ہو تو مشارکہ اقمات کو کنار (لکیر) کے ساتھ جوڑ دیا جائے۔ تصویر 2 میں تصویر 1 کے نقشہ سے مشارک مخططگراف دکھایا گیا ہے۔ نقشہ میں یوں رنگ بھرنے کہ مشترکہ سرحد والے اضلاع مختلف رنگی ہوں کے حوالے سے ضروری ہے کہ مخططگراف کی اقمات کو یوں رنگا جائے کہ جو دو اقمات کنار سے جڑی ہوں وہ مختلف رنگ میں ہوں۔ تصویر 2 میں "ب" اور "ک" اقمات چونکہ آپس میں کنار سے جڑی نہیں ہوئی، اس لیے یہ ایک ہی رنگ کی جا سکتی ہیں۔ جس طرح نقشہ کے لیے لونی کثیر رقمی تعریف کیا گیا ہے، اسی طرح مخططگراف کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے: مخططگراف کا لونی کثیر رقمی مخططگراف کے اقمات کو رنگ کرنے کی راہیں بتاتا ہے، اس طرح کہ وہ اقمات جو کنار کے ذریعہ ملی ہوں مختلف رنگ میں ہوں۔
اگرچہ [[Plane|مستوی]] میں کسی بھی نقشہ کا مخططگراف بنایا جا سکتا ہے، مگر ہر مخططگراف کا مستوی میں نقشہ ہونا ممکن نہیں ہوتا۔
<table align="left">
<tr>
<td>[[فائل:empty_graph.svg|frame|تصویر 3۔ خالی مخططگراف]]</td>
<td>[[فائل:complete_graph.svg|frame|تصویر 4۔ مکمل مخططگراف]]</td>
</tr>
</table>
لونی کثیر رقمی نکالنے کے طریقہ میں تولیفات کی تعداد بہت زیادہ ہو جاتی ہے۔ نیچے ہم کچھ نتائج بیان کرتے ہیں جن کی مدد سے تکراری طریقہ سے یہ کثیر رقمی معلوم کیے جا سکتے ہیں۔
''خالی مخططگراف'' ایسے مخططگراف کو کہا جاتا ہے جس میں صرف ''n'' اقمات ہو اور کوئی کنار نہ ہو (تصویر 3)۔ اس مخططگراف کا لونی کثیر رقمی
<math> \lambda^n </math> ہے۔
''مکمل مخططگراف'' ایسے مخططگراف کو کہا جاتا ہے جس میں ''n'' اقمات ہو اور ان میں سے ہر دو کنار سے جڑی ہوں (تصویر 4)۔ اس مخططگراف کا لونی کثیر رقمی
:<math>\ P(G,\lambda) = \lambda (\lambda-1) \cdots (\lambda-(n-1)) </math>
ہے۔
[[فائل:maximally_connected_subgraphs.svg|frame|بائیں|تصویر 5۔ مخططگراف G کے جزو]]
مخططگراف کو ''متصل'' کہتے ہیں اگر کسی بھی قمہ سے کسی بھی دوسرے قمہ تک جانے کا راستہ (کناروں سے ہوتے ہوئے) موجود ہو۔
مخططگراف کا ''جزو'' ایسا ذیلی مخططگراف ہوتا ہے جو اعظم التصال ہو، یعنی یہ ذیلی مخططگراف کسی دوسرے متصل ذیلی مخططگراف کے اندر نہ سماء سکے۔ تصویر 5 میں مخططگراف G کے دو جزو G<sub>1</sub> اور G<sub>2</sub> ہیں۔ مخططگراف ''G'' کا لونی کثیر رقمی ان دو جزو مخططگراف کے لونی کثیر رقمی جانتے ہوئے یوں لکھا جاوے ہے:
:<math>\ P(G,\lambda) = P(G_1,\lambda) P(G_2,\lambda) </math>
ہے۔
تصویر 5 میں اقمات ''a'' اور ''b'' اور انھیں جوڑنے والے کنارے پر مشتمل ذیلی مخططگراف جزو نہیں، کیونکہ یہ بڑے متصل ذیلی مخططگراف G<sub>1</sub> میں سما جاتا ہے۔
{{اصطلاح برابر|
خالی مخططگراف <br/> مکمل مخططگراف <br/>اعظم التصال <br/> متصل|
empty graph<br/> complete graph<br/> maximally connected <br/> connected}}
[[فائل:split_a_graph.svg|تصویر 6۔]]
</table>
تصویر 6 میں مخططگراف ''G'' کے کنار ''E'' کے حوالے سے دو مخططگراف تعریف کرتے ہیں۔ کنار ''E'' کو مٹا دینے سے مخططگراف G_E_1 حاصل ہوتا ہے۔ اب G_E_1 میں ان دو اقمات (''a'' اور ''b'' جو کنار ''E'' سے جڑے تھے) کو ایک تصور کرتے ہوئے مخططگراف G_E_2 حاصل ہوتا ہے۔ اصل مخططگراف کے لونی کثیر رقمی ان دو مخططگراف کے لونی کثیر رقمی کی مدد سے یوں لکھا جا سکتا ہے:
:<math>\ P(G,\lambda) = P(G_{E1},\lambda) - P(G_{E2},\lambda) </math>
=== خصوصیاتِ لونی کثیررقمی ===
مخططگراف ''G'' جس کی اقمات کی تعداد ''n'' ہو کا لونی کثیر رقمی <math>\ P(G, \lambda)</math>
* <math>\ P(G, \lambda)</math> کا درجہ ''n'' ہے۔
* <math>\ P(G, \lambda)</math> میں <math>\lambda^n</math> کا عددی سر 1 ہے۔
* <math>\ P(G, \lambda)</math> میں دائم رقم نہیں ہوتی۔
* <math>\ P(G, \lambda)</math> کی رقوم کے اشارات اُلٹتے رہتے ہیں، یعنی (مثبت، منفی، مثبت، منفی، ...)
* <math>\ P(G, \lambda)</math> کے دوسرے عددی سر کی مطلق قدر مخططگراف میں کناروں کی تعداد کے برابر ہوتی ہے۔
* اگر ''G'' متصل مخططگراف ہو، تو <math>\ P(G, \lambda) \le \lambda (\lambda-1)^{n-1}</math> کسی بھی مثبت <math>\lambda</math> کے لیے۔
==بیرونی روابط ==* {{ریاضی مدد}}
| 