"نظریۂ عدد" کے نسخوں کے درمیان فرق

[[تصویر:Ulam_1.png|250px|left|thumb|جب [[naturalقدرتی numbersعدد|قدرتی اعداد]] کو مرغولہ (Spiral) میں سجایا جاتا ہے اور [[prime number|اولی عدد]] (Prime Number) کو تاکید دیتے ہوئے، تو ایک دساس قرینہ (Pattern) مشاہد ہوتا ہے، جسے [[Ulam spiral|عالم مرغولہ]] (Ulam spiral) کہتے ہیں۔]]

اصطلاحات [[arithmetic|حساب]] یا "حسابِ اعلٰی" کے [[nouns|اسم]] بھی نظریہ عدد کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ یہ قدرے پرانی اصطلاحات ہیں اور اب اتنی معروف نہیں جتنی کبھی پہلے تھیں۔ البتہ لفظ "حساب" بطور [[adjective|اسم صفت]] معروف ہے بجائے کہ زیادہ بوجھل فقرہ "عدد-نظریاتی"، اور "کا حساب" بھی بجائے کہ " کا عدد نظریہ "، مثل [[arithmetic geometry|حسابی ہندسہ]]، (Arithmetic Geometry) [[arithmetic functionدالہ|حسابی دالہ]] (Function)، [[arithmetic of elliptic curves|بیصوی منحنی کا حساب]] (Elliptic Curves Arithmetic)۔

* '''ابتدائی نظریہ عدد''' میں صحیح اعداد مطالعہ کیے جاتے ہیں بغیر دوسرے ریاضیاتی میدانوں کی تکانیک استعمال کرتے ہوئے۔ [[divisibility|تقسیمی]] (Divisibility) کے سوال، [[Euclidean algorithm|اقلدیسی الخوارزم]] کے استعمال سے [[greatest common divisor|عاد اعظم]] (Greatest Common Divisor) کا ڈھونڈنا، [[integer factorization|صحیح اعدادی تجزی]] (Integer Factorization) [[prime number|اولی اعداد]] میں، [[perfect number|کامل اعداد]] (Perfect Number) کی تشویش، اور [[modular arithmetic|مطابقت]] (Modular Arithmetic) یہاں حق رکھتے ہیں۔ اس میدان کی کئی اہم دریافتوں میں شامل ہیں [[Fermat's little theorem|فرمیے کا چھوٹا قضیہ]]، [[Euler's theorem|عائلر قضیہ]]، [[Chinese remainder theorem|چینی تقسیم باقی قضیہ]]، اور [[quadratic reciprocity|چکوری متکافیت]] (Quadratic Reciprocity) کا قضیہ۔ [[multiplicative function|ضربی دالہ]] (Multiplicative Function) جیسا کہ [[Möbius function|موبیس دالہ]] (Möbius Function) اور [[Euler's phi function|عائلر φ دالہ]] (Euler's phi Function) کے خاصے، [[integerصحیح sequence|صحیحعددعدد متوالیہ]] (Integer Sequence)، [[factorial|معاملعاملیہ]] (Factorial)، اور [[Fibonacci number|فبوناچی اعداد]] (Fibonacci Numbers) بھی اس علاقے میں آتے ہیں۔

* '''[[Analytic number theory|تحلیلی نظریۂ عدد]]''' (Analytic Number Theory) میں [[calculus|حسابان]] (Calculus) اور [[complex analysis|مختلط تحلیل]] (Complex Analysis) کے آلات کو بروئے کار لایا جاتا ہے صحیحعددصحیح عدد بارے سوالات کو اڑنگا لگانے کے لیے۔ [[prime number theorem|اولیٰ عدد قضیہ]] (Prime Number Theorem) اور [[Riemann hypothesis|رحمان مفروضہ]] (Riemann Hypothesis) اس کی امثال ہیں۔

* '''[[الجبرائی نظریہ عدد]]''' میں عدد کے تصور کو [[algebraic number|الجبرائی اعداد]] (Algebraci Number) تک پھیلا دیا جاتا ہے۔ الجبرائی عدد ایسے عدد ہوتے ہیں جو [[rationalناطق numberعدد|ناطق]] (Rational) عددی سر والے کثیر رقمیوں کے [[Root of a function|جزر]] ہوں۔

* '''[[Computational number theory|شمارندی نظریہ عدد]]''' (Computational Number Theory) میں نظریہ عدد سے متعلقہ [[algorithms|الخوارام]] کا مطالعہ کیا جاتا ہے۔ [[prime testing|اولی اختباری]] (Prime testing) اور [[integerصحیح factorization|صحیحعددعدد تجزی]] (Integer Factorization) کے تیز الخوارزم [[cryptography|اخفا و اشفا]] (Cryptography) میں انتہائی اہمیت کے حامل ہیں۔

اعداد کا مطالعہ [[Greece|یونانی]] ریاضیدانوں کا محبوب مشغلہ تھا۔ قدیم [[Egypt|مصریوں]] سے [[Diophantine equation|ڈایوفینٹین مساوات]] کا علم یونانیوں کو ملا، جس کا نام یونانی [[Diophantus|ڈیوفانٹس]] (Diophantus) پر اب جانا جاتا ہے۔

قدیم برصغیر میں ڈیوفنٹین مساوات کو وسیع مطالعہ ریاضیدانوں نے کیا۔ [[Aryabhata|آریابھاٹا]] (499ء) نے لکیری ڈیوفنٹین مساوات جس کی ہئیت <math>ay + bx = c</math> ہو کا جامع حل پیش کیا۔

عرب ریاضیدانوں نے 9ویں صدی سے نظریہ عدد میں گہری دلچسپی لینی شروع کی۔ ان ریاضیدانوں میں سے پہلا [[ثابت بن قرہ|ثابت بن قرة]] تھا جس نے ایسا الخوارزم دریافت کیا جس سے [[amicable number|محبانہ اعداد]] (Amicable Number) کے جوڑے ڈھونڈے جا سکتے تھے، یعنی ایسے اعداد کہ ہر عدد کے صالح [[تقسیم (ریاضی)|قاسموں]] کی جمع دوسرے عدد کے برابر ہو۔ دسویں صدی میں [[ابن طاہر البغدادی]] نے ثابت بن قرہ کے مسئلہ کے تھوڑے انحرافی پر نظر ڈالی۔

10ویں صدی میں [[ابن الہیثم|الھیثم]] نے تمام جفت [[perfect number|کامل اعداد]] (Perfect Number) (اعداد جو اپنے صالح قاسموں کی حاصل جمع ہوں) کی جماعت بندی کی جن کی ہئیت <math>\ 2^{k-1}(2^k - 1)</math> ہوتی ہے، جہاں <math>2^k - 1</math> [[اولی عدد]] ہے۔ الھیثم نے یہ قضیہ بھی دیا کہ اگر ''p'' اولی عدد ہو تو عدد <math>1+(p-1)!</math> تقسیم ہوتا ہے ''p'' سے (اس قضیہ کو بعد میں یورپی عالموں نے اپنے [[Wilson's theorem|ولسن]] کے نام سے منسوب کر دیا، اس قضیہ کا ثبوت 1771 میں [[Lagrange|لاگرینج]] نے دیا)۔

13ویں صدی میں فارس ریاضیدان [[محمد الفارسی|الفارسی]] نے [[Thabit number|ثابت قضیہ]] (Thabit Number) کا نیا ثبوت پیش کیا، جس میں اس نے تجزی اور [[تالیفیات]] (Combinatorics) کے اہم نئے طرائق متعارف کرائے۔ اس کے علاوہ اس نے محبانہ اعداد جوڑا 17296, 18416 بتایا جو غلطی سے [[Leonhard Euler|عائلر]] کو منسوب کیا جاتا ہے (غالبا ثابت کو بھی یہ جوڑا معلوم تھا)۔ [[محمد باقر یازدی]] نے محبانہ جوڑا 9,363,584 اور 9,437,056 دیا۔