"خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)" کے نسخوں کے درمیان فرق

کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں
کوئی خلاصۂ ترمیم نہیں
{{اصطلاح برابر|
مجموعہ <br> قابل احاطہ <br> بند <br> کھلا <br> مطابقت <br> گھماؤ <br> ترجمہ <br> متداخل <br> نامتداخل <br> سکڑاو <br> پھیلاؤ <br> خود مشابہ <br> میلاتحاد|
set <br> bounded <br> closed <br> open <br> congruence <br> rotate <br> translate <br> overlapping <br> non-overlapping <br> contraction <br> expansion <br> self-similar <br> union}}
 
ایک بند اور قابل احاطہ مجموعہ (جو <math>\mathbb{R}^2</math> کا ذیلی مجموعہ ہو) کو ''خود مشابہ'' کہا جائے گا، اگر اس مجموعہ ''S'' کو یوں لکھا جا سکے
:<math>S = S_1 \cup S_2 \cup \cdots \cup S_n</math>
جہاں <math>S_1, S_2, \cdots, S_n</math> نامتداخل مجموعات ہیں، اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے ''S'' کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد <math>\ 0<s<1</math> ہے)۔ یہاں علامت <math>\cup</math> اتحاد کے لیے استعمال ہوئ ہے۔
 
 
تصویر 6 میں مجموعہ ''S'' کو چار مجموعات <math>S_1, S_2, S_3, S_4 </math> کے میلاتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد <math> s=\frac{1}{2} </math> ہے۔
ان ذیلی مجموعات کو سے ان [[مماثلتیہ]] کے زریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:
:<math>S_1=T_1(S), \, S_2=T_2(S), \, S_3=T_3(S), \, S_4=T_4(S) </math>
 
{{اصطلاح برابر|
میلاتحاد <br> غیر خالی <br> منفرد <br> ایکی مربع <br> خود مشابہ|
union <br> non-empty <br> unique <br> unit square <br> self-similar}}
=== مسلئہ اثباتی===
اگر <math>T_1, T_2, \cdots, T_n </math> سکڑنے والی [[مماثلتیہ]] ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند، اور قابل احاطہ مجموعہ ''S'' ہو گا، جبکہ
:<math>S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup \cdots \cup T_n(S) </math>
اور اگر مجموعات <math>\ T_1(S), T_2(S), \cdots, T_n(S) </math> نامتداخل ہوں، تو مجموعہ ''S'' خود مشابہ ہو گا۔
 
 
 
[[Image:three_similitudes_self_similar.png|frame|تصویر 7]]
[[Image:three_similitudes_self_similar_step2.png|frame|تصویر 8]]
=== مثال===
 
اگر نیچے دی تین [[مماثلتیہ]] ایکی مربع پر استعمال کی جائیں،
:<math>T_1\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) =
\begin{bmatrix}0 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}
</math>
تو تین نامتداخل مربع <math>\ T_1(U), T_2(U), T_3(U) </math> بنتے ہیں (تصویر 7) ۔ اب ان تین مربع پر (علیحدہ علیحدہ) یہ تین مماثلتیہ استعمال کیے جائیں، اورتو تصویر 8 حاصل ہو گی۔ اسی طرح یہ عمل جاری رکھا جائے تو تصویر 89 حاصل ہوتی ہے، جو کہ مشہور سیرپنسکی تکون ہے۔
 
[[Image:Sierpinski_triangle.png|frame|تصویر 89. سیرپنسکی (Sierpinski) تکون ]]
 
=== مسلئہ اثباتی===
اگر <math>T_1, T_2, \cdots, T_n </math> سکڑنے والی [[مماثلتیہ]] ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند، اور قابل احاطہ مجموعہ ''S'' ہو گا، جبکہ
:<math>S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup \cdots \cup T_n(S) </math>
اور اگر مجموعات <math>\ T_1(S), T_2(S), \cdots, T_n(S) </math> نامتداخل ہوں، تو مجموعہ ''S'' خود مشابہ ہو گا۔
 
 
 
[[Image:Sierpinski_triangle.png|frame|تصویر 8. سیرپنسکی (Sierpinski) تکون ]]
 
:<math>S = T_1(S) \cup T_2(S) \cup T_3(S) </math>
11,218

ترامیم