ویکیپیڈیا

"عائلری کلیہ" کے نسخوں کے درمیان فرق

تاریخچہ دیکھیں
→ گزشتہ ترمیماگلی ترمیم ←
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
بصریویکی متن
م r2.7.2+) (روبالہ ترمیم: hi:ऑयलर का सूत्र
م Bot: Fixing redirects
سطر 1:
{{E (mathematical constant}}
[[Leonhardلیونہارڈ Eulerاویلر|عائلر]] کے نام پر یہ کلیہ، ریاضیات میں [[مختلط تحلیل]] کا ہے، جو [[trigonometric functions|مثلشیاتی دالہ]] اور مختلط [[exponentialاسی functionدالہ|اَسّی دالہ]] کے درمیان گہرے تعلق کا پتہ دیتا ہے۔ عائلر کلیہ کا بیان ہے کہ، کسی [[real number|حقیقی عدد]] ''x'' کے لیے:
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>
جہاں [[e (mathematicalریاضیاتی constantدائم)|''e'' قدرتی لاگرتھم کی اساس]] ہے، ''i'' [[imaginary unit|تخیلی اکائی]]، اور cos اور sin [[trigonometric function|مثلثیاتی دالہ]] "جیب التمام" (cosine) اور "جیب منحنی" (sine) ہیں، اور مد ''x'' [[radian|قطریہ]] میں ہے۔
جب ''x'' مختلط ہو، تب بھی یہ کلیہ لاگو رہتا ہے۔
 
سطر 12:
:<math> \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ </math>
(جہاں ''ln'' علامت ہے قدرتی لاگرتھم کی، یعنی لاگرتھم اساس ''e'' پر)۔
پھر عائلر نے اس اپنی موجودہ ہئیت میں 1748ء میں شائع کیا، جس میں یہ ثابت کیا کہ دونوں اطراف کے [[infiniteسلسلہ series(ریاضی)|لامتناہی سلسلہ]] برابر ہیں۔ ان دو اشخاص میں سے کسی کو بھی اس کلیہ کی ہندسہ تشریح نہیں سوجھی؛ مختلط عدد کو مستوی میں نقاط کے طور پر تصور کرنے کا خیال 50 سال بعد اُبھرا۔ عائلر اپنی درسی کتب میں طالب علموں کو مختلط اعداد سے ابتدا میں ہی آشنا کرنے کا حامی تھا۔
 
== مختلط نظریہ عدد میں اطلاق ==
[[تصویر:Euler's formula.svg|thumb|left]]
: <math>e^{i\phi} = \cos \phi + i\sin \phi \!</math>
اس کلیہ کی تشریح یوں کی جا سکتی ہے کہ دالہ ''e''<sup>''iφ''</sup> مختلط مستوی میں [[unit circle|ایکائی دائرہ]] نقش کرتی ہے جب ''φ'' حقیقی اعداد کا احاطہ کرتا ہے۔ یہاں ''φ'' وہ [[angle|زاویہ]] ہے جو دائرہ پر نقطہ کو مبدا سے ملانے والی لکیر اور "مثبت افقی محور" کے درمیان ہے، جسے اُلٹی گھڑی کی سمت، اور [[radian|قطریہ]] میں ناپا جاتا ہے۔
 
اصل ثبوت [[exponentialاسی functionدالہ|اَسّی دالہ]] ''e''<sup>''i x''</sup> (جہاں ''x'' حقیقی عدد ہے) اور sin&nbsp;''x'' اور cos&nbsp;''x'' کے [[Taylor series|ٹیلر سلسلہ]] میں پھیلاو پر مبنی ہے۔ دراصل اسی ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ کلیہ تمام مختلط عدد ''z'' کے لیے بھی لاگو ہے۔
 
مختلط مستوی میں کسی نقطہ کو مختلط عدد سے [[Coordinates (elementary mathematics|کارتیسی محدر]] میں نمائندگی دی جا سکتی ہے۔ کارتیسی اور قطبی محدر میں بدلی کے لیے عائلر کلیہ زریعہ فراہم کرتا ہے۔ قطبی صورت میں [[Term (mathematics|اصطلاح]] کی تعداد دو سے کم ہو کر ایک رہ جاتی ہے، جس سے ضرب آسان ہو جاتی ہے۔ کسی بھی مختلط عدد ''z'' = ''x''&nbsp;+&nbsp;''iy'' کو یوں لکھا جا سکے ہے
سطر 52:
 
== مثلثیات سے رشتہ ==
[[mathematicalریاضیاتی analysisتحلیل|تحلیل]] اور [[trigonometry|مثلثیات]] کے بین عائلری کلیہ طاقتور رشتہ فراہم کرتا ہے، اور ''sin'' اور ''cos'' دالہ کی بطور اَسّی دالہ کے [[weighted sum|موزون حاصل جمع]] تفسیر کرتا ہے:
: <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>
اخذ کردہ از «https://ur.wikipedia.org/wiki/عائلری_کلیہ»