بےز مسئلہ اثباتی

اصطلاح	term
بیز مسلئہ اثباتی	Bayes' theorem

اگر واقعات $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ کسی نمونہ فضا S کا بٹوارا ہوں، یعنی

تصویر 1

$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=S$

اور اس کے علاوہ یہ باہمی ناشمول واقعات بھی ہوں، یعنی

$A_{i}\cap A_{j}\cap =\Phi \,,\,i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}$

اور $\Pr(A_{i})>0$، تو کسی واقعہ B کے لیے (اگر $\Pr(B)>0$)، بٹوارے کے کسی "واقعہ $\ A_{i}$ کا احتمال جبکہ واقعہ B" کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

$\Pr(A_{i}|B)={\frac {\Pr(A_{i}\cap B)}{\Pr(B)}}={\frac {\Pr(B|A_{i})\Pr(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}\Pr(B|A_{k})\Pr(A_{k})}}$

جہاں ہم نے کُل احتمال کے قانون کا استعمال کیا ہے۔

مثال

فرض کرو کہ کسی بیماری کی تشخیص کے لیے ایک اختبار دستیاب ہے، مگر بیماری (disease) موجود ہونے کی صورت میں یہ اختبار 99 فیصد وقوع میں صحیح مثبت (positive) نتیجہ دیتا ہے، یعنی مشروط احتمال

$\ \Pr({\hbox{positve}}|{\hbox{disease}})=0.99\,,\Pr({\hbox{negative}}|{\hbox{disease}})=0.01$

بیماری نہ ہونے کی صورت (no disease) میں یہ اختبار 98 فیصد وقوع میں صحیح منفی (negative) نتیجہ دیتا ہے، یعنی مشروط احتمال

$\ \Pr({\hbox{positve}}|{\hbox{no disease}})=0.02\,,\Pr({\hbox{negative}}|{\hbox{no disease}})=0.98$

آبادی میں اس بیماری کا تناسب ہزار میں ایک ہے، یعنی بنفسیہ احتمال

$\ \Pr({\hbox{no disease}})=0.999\,,\Pr({\hbox{disease}})=0.001$

اب ہم جاننا چاہتے ہیں کہ اگر کسی شخص کا اختبار کا نتیجہ مثبت نکلتا ہے، تو اس کا کیا احتمال ہے کہ اس شخص کو واقعی یہ بیماری ہے، یعنی ہم $\ \Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})$ جاننا چاہتے ہیں۔ اب بے ز قاعدہ کا استعمال کرتے ہوئے

$\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})={\frac {\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})\Pr({\hbox{disease}})}{\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})\Pr({\hbox{disease}})+\Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{no disease}})\Pr({\hbox{no disease}})}}$

اقدار ڈالتے ہوئے

$\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})={\frac {0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.02\times 0.999}}=0.047$

یعنی اختبار کا نتیجہ مثبت ملنے پر واقعی بیماری ہونے کا احتمال صرف 4.7 فیصد ہے۔ اگر آپ کے لیے اس مثال کا نتیجہ حیران کن ہے تو غور کریں یہ بنفسیہ احتمال $\ \Pr({\hbox{disease}})=0.001$ کا اثر ہے۔

اس مثال سے یہ بھر پور طریقہ سے واضح ہوا کہ $\Pr({\hbox{disease}}|{\hbox{positive}})\neq \Pr({\hbox{positive}}|{\hbox{disease}})$

بے ز قاعدہ کی مختلف شکل

اصطلاح	term
مفروضہ  ? امکاناتی تناسب بنفسیہ بمثلیہ	Hypothesis odds Likelihood ratio a priori posteriori

اوپر دیے بے ز قاعدہ کو مختلف شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ اگر ایک واقعہ M ہے اور اس کا متمم ${\bar {M}}$، تو ان کے احتمال کا تناسب

${\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}$

اس مفروضہ (واقعہ) M کے odds کو ظاہر کرتا ہے۔ واضح رہے کہ:

$\Pr({\bar {M}})=1-\Pr(M)$

اب اگر ایک واقعہ C رونماء ہوتا ہے، جس سے ہمیں مفروضہ M کے بارے میں کچھ نئی معلومات ملتی ہیں، تو اس نئی معلومات کی روشنی میں مفروضہ M کے نئے odds یہ ہوں گے

${\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}{\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}$

جہاں ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}$ کو امکاناتی تناسب کہا جاتا ہے۔ نظریہ احتمال و احصاء کی زبان میں مفروضہ کے اصلی odds کو بنفیسہ odds کہا جاتا ہے اور نئے odds کو بمثلیہ odds کہتے ہیں۔ یعنی بے ز قاعدہ کی مختلف شکل یوں ہے:

(بمثلیہ odds ) = (بنفیسہ odds) $\times$ (امکاناتی تناسب)

اوپر کی بے ز مساوات کے numerator اور denominator میں بے ز قاعدہ کے استعمال سے اس مساوات کی تصدیق ہوتی ہے، مثلاً numerator کے لیے

$\Pr(M|C)={\frac {\Pr(M\cap C)}{\Pr(C)}}={\frac {\Pr(C|M)\Pr(M)}{\Pr(C)}}$

مثال

فرض کرو کہ ایک شخص پولیس مقابلے میں ہلاک ہو گیا ہے۔ مفروضہ یہ ہے کہ یہ شخص ڈاکو تھا۔

M=مفروضہ (ڈاکو تھا)

${\bar {M}}$= نفی مفروضہ (ڈاکو نہیں تھا)

فرض کرو کہ پولیس مقابلے میں مرنے والوں کے ڈاکو ہونے اور نہ ہونے کا تناسب 5 ہے، یعنی

${\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}=5\,,\,\Pr(M)={\frac {5}{6}}$

اب نیا ثبوت سامنے آتا ہے کہ مرنے والا مسلح نہیں تھا۔

C=مسلح نہیں تھا

فرض کرو کہ غیر مسلح شخص کے ڈاکو ہونے اور ڈاکو نہ ہونے کا تناسب 1/8 ہے، یعنی ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}={\frac {1}{8}}$

اس ثبوت کی روشنی میں مرنے والے کے ڈاکو ہونے کے بمثلیہ odds ہوں گے

${\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {5}{1}}\times {\frac {1}{8}}={\frac {5}{8}}$

جس سے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال بنتا ہے

${\frac {\Pr(M|C)}{1-\Pr(M|C)}}={\frac {5}{8}}\,,\,\Pr(M|C)={\frac {5}{13}}$

یاد کرو کہ اس نئے ثبوت کے مہیا ہونے سے پہلے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال ${\frac {5}{6}}$ تھا (83 فیصد)، جو اب کم ہو کر ${\frac {5}{13}}$ رہ گیا ہے (38 فیصد)۔

== مزید دیکھیے ==* مشروط احتمال* کُل احتمال کا قانون

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات