خیام تکون

اصطلاح	term
خیام تکون دو رقمی عددی سر	Pascal's triangle binomial coefficient

دو رقمی عددی سر ${\tbinom {n}{r}}$ کو تکون کی صورت لکھا جا سکتا ہے جو ایک وضع بناتے ہیں۔ اس تکون کو خیام تکون کہا جاتا ہے۔

{\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!\,(n-r)!}}\,,\,\,\,n\in \mathbb {N} ,\,r\leq n

جہاں ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔

خیام تکون
n=0								${\tbinom {0}{0}}$
n=1							${\tbinom {1}{0}}$		${\tbinom {1}{1}}$
n=2						${\tbinom {2}{0}}$		${\tbinom {2}{1}}$		${\tbinom {2}{2}}$
n=3					${\tbinom {3}{0}}$		${\tbinom {3}{1}}$		${\tbinom {3}{2}}$		${\tbinom {3}{3}}$
n=4				${\tbinom {4}{0}}$		${\tbinom {4}{1}}$		${\tbinom {4}{2}}$		${\tbinom {4}{3}}$		${\tbinom {4}{4}}$
n=5			${\tbinom {5}{0}}$		${\tbinom {5}{1}}$		${\tbinom {5}{2}}$		${\tbinom {5}{3}}$		${\tbinom {5}{4}}$		${\tbinom {5}{5}}$
n=6		${\tbinom {6}{0}}$		${\tbinom {6}{1}}$		${\tbinom {6}{2}}$		${\tbinom {6}{3}}$		${\tbinom {6}{4}}$		${\tbinom {6}{5}}$		${\tbinom {6}{6}}$
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

خیام تکون
n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

5+10=15 غور کرو کہ
n=0							1
n=1						1		1
n=2					1		2		1
n=3				1		3		3		1
n=4			1		4		6		4		1
n=5		1		5		10		10		5		1
n=6	1		6		15		20		15		6		1

تکون میں تناظر کو دیکھتے ہوئے یہ کلیہ ملتا ہے کہ:

{\binom {n}{r}}={\binom {n}{n-r}}

غور کرو کہ تکون میں کوئی عدد اس کے اوپر کی قطار میں دائیں اور بائیں اعداد کا حاصل جمع ہے (مثلاً تکون میں سرخ رنگ میں دکھایا ہے 10+5=15)، جس سے یہ کلیہ ملتا ہے:

{\binom {n}{r}}+{\binom {n}{r+1}}={\binom {n+1}{r+1}}

یہ واضح ہے کہ کسی قطار کا حاصل جمع

{\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\cdots +{\binom {n}{n}}=2^{n}

اس سے پتہ چلتا ہے کہ n اشیاء کے مجموعہ کے ذیلی مجموعات کی تعداد $2^{n}$ ہوتی ہے (دیکھو تولیف)۔

اس کے علاوہ

\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0

دو رقمی پھیلاؤ ترمیم

دو رقمی مسلئہ اثباتی کے پھیلاؤ میں رقموں کے عددی سر خیام تکون کے برابر ہوتے ہیں۔ مثلاً

n=0	$(a+b)^{0}=1$
n=1	$(a+b)^{1}=a+b$
n=2	$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
n=3	$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
n=4	$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$
n=5	$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
n=6	$(a+b)^{6}=a^{6}+6a^{5}b+15a^{4}b^{2}+20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}+6ab^{5}+b^{6}$

مزید دیکھیے ترمیم

تولیف

حوالہ جات ترمیم

E=mc² اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

n=0								1
n=1							1		1
n=2						1		2		1
n=3					1		3		3		1
n=4				1		4		6		4		1
n=5			1		5		10		10		5		1
n=6		1		6		15		20		15		6		1
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...