کیٹیلان عدد

اصطلاح	term
کیٹیلان	Catalan

ریاضیات کے شعبہ تالیفیات میں کیٹیلان عدد ایک متوالیہ تعریف کرتے ہیں اور یہ تالیفیات میں کافی مفید ثابت ہوتے ہیں۔ n^واں کیٹلان عدد $C_{n}$ یوں تعریف ہوتا ہے:

$C_{n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n-2}{n-1}}={\binom {2n-2}{n-1}}-{\binom {2n-2}{n}}$

تعریف:راہ: کارتیسی مستوی میں شُبیکہ نقطہ $\ (x_{0},y_{0})$ سے شبیکہ نقطہ $\ (x_{m},y_{m})$ راہ شبیکہ نقاط کے متوالیہ $\{(x_{i},y_{i})\}$ کو کہتے ہیں، جبکہ نقاط $\ (x_{i},y_{i})$ کی یہ خصوصیت ہو کہ $i=0,1,\cdots ,m-1$ کے لیے $x_{i+1}=x_{i}+1,\,y_{i+1}=y_{i}$ یا پھر $x_{i+1}=x_{i},\,y_{i+1}=y_{i}+1$

تعریف: راہ کو اچھا کہتے ہیں اگر

$y_{i}<x_{i}\,,\,i=0,1,\cdots ,m$

• نقطہ $\ (x_{0},y_{0})$ سے نقطہ $\ (x_{m},y_{m})$ راہوں کی تعداد

${\binom {(x_{m}-x_{0})+(y_{m}-y_{0})}{x_{m}-x_{0}}}={\binom {(x_{m}-x_{0})+(y_{m}-y_{0})}{y_{m}-y_{0}}}$

ہے۔ یہ اس وجہ سے ہے کہ نقطہ $\ (x_{0},y_{0})$ سے نقطہ $\ (x_{m},y_{m})$ جانے تک $\ (x_{m}-x_{0})+(y_{m}-y_{0})$ قدم ہیں اور ہر قدم پر آپ کو اُفقی یا عمودی طرف کا انتخاب کرنا ہے، یعنی $\ (x_{m}-x_{0})+(y_{m}-y_{0})$ میں سے $\ (x_{m}-x_{0})$ افقی قدموں کا انتخاب یا $\ (x_{m}-x_{0})+(y_{m}-y_{0})$ میں سے $\ (y_{m}-y_{0})$ عمودی قدموں کا انتخاب۔

• نقطہ $\ (x_{0},y_{0})$ سے نقطہ $\ (x_{m},y_{m})$ تک اچھی اور بری دونوں طرح کی راہیں موجود ہوں گی اگر

$y_{0}<x_{0}\leq y_{m}<x_{m}$

• نقطہ $\ (1,0)$ سے نقطہ $\ (n,n-1)$ تک اچھی راہوں کی تعداد کیٹلاں عدد $C_{n}$ کے برابر ہے۔

حوالہ جات

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

Catalan number