ویکیپیڈیا

"مطابقت" کے نسخوں کے درمیان فرق

تاریخچہ دیکھیں
→ گزشتہ ترمیماگلی ترمیم ←
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
بصریویکی متن
م r2.5.2) (روبالہ محو: ar:حساب نمطي, fa:هم‌نهشتی
م r2.7.2) (روبالہ جمع: sh:Модуларна аритметика; cosmetic changes
سطر 1:
تعریف: اگر [[عدد#صحیح عدد|صحیح عدد]] ''a'' صحیح عدد ''b'' کو (پورا) تقسیم کرتا ہے، تو اس کو یوں لکھا جاتا ہے:
<math>\ a | b</math>
<br />
مثال:
<math>\ 2 | 6</math>
<br /><br />
مطابقت
(تعریف): چلو <math>\ m>0</math> ۔ ہم کہتے ہیں کہ ''a'' مطابق ہے ''b'' کے، بہ چکر ''m'' ، اگر <math>\ m | b-a</math>
اور اس کو یوں لکھتے ہیں
<br /><math>\ a \equiv b \mod m</math><br />
مثال:
<br /><math>\ 18 \equiv 4 \mod 7</math>
کیونکہ
<math>\ 7 | 18-4 </math><br />
<br />
<br /><math>\ 18 \equiv 0 \mod 6</math>
کیونکہ
<math>\ 6 | 18-0 </math><br />
 
''مطابقت '' کو انگریزی میں congruence کہتے ہیں، اور ''بہ چکر'' کو modulo یا mod ۔ اس طرح مساوات کے طور پر لکھنا بہت مفید ثابت ہوتا ہے، جیسا کہ ہم نیچے دیکھیں گے۔
 
== مسلئہ اثباتی ==
چلو <math>\ m>0</math> [[عدد#قدرتی عدد|قدرتی عدد]] ہو ۔ نیچے ''a'' اور ''b'' [[عدد#صحیح عدد|صحیح عدد]] ہیں، اور <math>\ m_1>0</math>
* اگر <math>\ a \equiv b \mod m</math> ، تو پھر
<math>\ b \equiv a \mod m</math>
 
* اگر <math>\ a \equiv b \mod m</math> اور <math>\ b \equiv c \mod m</math> ، تو پھر
<math>\ a \equiv c \mod m</math>
 
سطر 32:
* <math>\ (a \times b) \mod m = (a \mod m) \times (b \mod m) </math>
 
* اگر <math>\ a \equiv b \mod m</math> اور <math>\ m_1 | m</math> ، تو پھر
<math>\ a \equiv b \mod m_1</math>
<br />
<br />
مثال: <br />
<math> \begin{matrix}
3^3 \mod 4 &=& ((3 \times 3) \mod 4) \times 3 \mod 4 \\
سطر 45:
</math>
 
== مثلئہ اثباتی ==
اگر صحیح اعداد ''a'' اور ''b'' کا [[عدد#عادِ اعظم|عاد اعظم]] <math>\ \gcd(a,b)=m_1 > 0</math> ہو، اور <math>\ m=m_1 \times m_2 >0</math> ، تو
<br />
<math>\ a x \equiv a y \mod m \iff x \equiv y \mod m_2</math>
<br />
<br />
مثال:
دی گئ مساوات:
<math> 35 \equiv 5 \mod 6 </math>
<br />
اب چونکہ
<math> \gcd(6,5)=1</math>
اس لئے ہم مساوات کے دونوں طرف 5 سے کاٹ سکتے ہیں:
<math> 7 \equiv 1 \mod 6 </math>
<br />
اس مثٓال میں مسلئہ کی ایک خاص صورت استعمال ہوئی ہے، جسے "کاٹنے" کا اصول کہتے ہیں۔
 
== مسلئہ اثباتی ==
اگر
<math> a \equiv b \mod m </math> <br />
تو پھر
<math> a^n \equiv b^n \mod m </math> <br />
کسی بھی مثبت ''n'' کے لیے۔
 
== مطابقت جماعت ==
''بہ چکر n'' کا عمل صحیح اعداد کو ''n'' جماعتوں میں بانٹ دیتا ہے۔ مثلاً ''n=3'' کے لیے، یہ تین جماعتیں بنتی ہیں:
<math> \begin{matrix}
\{ \cdots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots \}, \\
سطر 77:
\end{matrix}
</math>
<br />
ان جماعتوں کے نمائندہ ارکان ''0'' ، ''1'' ، اور ''2''، ہیں۔ گویا ''n=3'' کا ایک مطابقت نظام <math>\ \{0,1,2\} </math> ہے، جو اس کا بنیادی مطابقت نظام کہلاتا ہے۔ اسی طرح دوسرے مطابقت نظاموں میں شامل ہیں:
<br />
<math>\ \{1,2,3\} </math>،
<math>\ \{2,3,4\} </math> وغیرہ۔
 
== مطابقت مساوات ==
مسلئہ اثباتی: درجہ اول کی مطابقت مساوات <br />
<math>
a x \equiv b \mod m
</math>
<br />
اس مساوات کا حل ممکن ہے، اور صرف اسی صورت ممکن ہے، جب
<math>\ \gcd(a,m) | b </math>
<br />
اگر ایک حل <math>x=x_0</math> ہے، تو تمام حل یوں لکھے جا سکتے ہیں <br />
<math> x = x_0 + \frac{m v}{\gcd(a,m)}</math>
جہاں ''v'' بھاگتا ہے بہ چکر <math> \ \gcd(a,b) </math> کے کسی بھی مطابقت نظام میں۔
<br />
=== مثال ===
مساوات <br />
<math>
9 x \equiv 33 \mod 48
</math>
<br />
اب چونکہ <math>\ \gcd(9,48)=3</math>، اور 3 تقسیم کرتا ہے 48 کو، اس لیے اس مساوات کا حل موجود ہے۔ ایک حل <math>x_0=9</math> ہے۔ اور سارے حل یوں ہیں:
<br />
<math> x = 9 + \frac{48 v}{3} = \{9, 25, 41\}</math>
<br />
چونکہ ''v'' عدد 3 کے بنیادی مطابقت نظام میں بھاگتا ہے، <math>v=\{0,1,2\}</math>
 
 
== اور دیکھو ==
* [[محدود میدان]]
{{ریاضی مدد}}▼
 
[[زمرہ:نظریۂ عدد]]
[[Categoryزمرہ:ریاضیات]]
▲{{ریاضی مدد}}
 
{{Link FA|fr}}
سطر 136:
[[simple:Module arithmetic]]
[[sr:Модуларна аритметика]]
[[sh:Модуларна аритметика]]
[[sv:Kongruens modulo]]
[[ta:சமானம், மாடுலோ n]]
اخذ کردہ از «https://ur.wikipedia.org/wiki/مطابقت»