صارف:Bisma Ishaq/تختۂ مشق
تعارف
میکسویل کے مساوات کلاسیکی برقی مقناطیسیت کی بنیاد ہیں، جو برقی اور مقناطیسی میدانوں کے طرز عمل کو بیان کرتے ہیں۔ یہ چار بنیادی مساوات بیان کرتی ہیں کہ کس طرح برقی چارج اور کرنٹ برقی اور مقناطیسی میدان پیدا کرتے ہیں، اور یہ میدان کس طرح جگہ اور وقت میں پھیلتے ہیں۔ خصوصی اضافیت کی آمد کے ساتھ، یہ واضح ہو گیا کہ فزکس کے قوانین، بشمول میکسویل کے مساوات، کو مختلف جمودی فریموں میں مطابقت (کوورینس) برقرار رکھنی چاہئے۔ یہ مطابقت لورینز تبدیلی کے ذریعے یقینی بنائی جاتی ہے، جو مختلف جمودی فریموں میں حرکت کرنے والے مختصات اور اوقات کو ایک دوسرے سے تعلق میں لاتی ہے۔ یہ مضمون لورینز تبدیلی، اس کا میکسویل کے مساوات پر اطلاق، اور ان مساوات کی مختلف فریموں میں مطابقت کو یقینی بنانے میں مکمل مشتقات کے کردار پر روشنی ڈالتا ہے۔
میکسویل کے مساوات
میکسویل کے مساوات کو فرق اور جامع شکلوں میں لکھا جا سکتا ہے، جو برقی مقناطیسی میدانوں کی مکمل وضاحت فراہم کرتے ہیں[2]
برقی کے لئے گاؤس کا قانون
E= ρ/ ϵ0.∇
یہ مساوات بیان کرتی ہے کہ ایک بند سطح سے برقی بہاؤ اندر موجود چارج کے متناسب ہے۔
مقناطیسیت کے لئے گاؤس کا قانون
B=0.∇
یہ قانون ظاہر کرتا ہے کہ کوئی مقناطیسی مونوپول نہیں ہیں؛ مقناطیسی میدان کی لکیریں بند حلقے ہیں۔
فارڈے کا قانون
E=− ∂B/ ∂t×∇
یہ بیان کرتا ہے کہ ایک بدلتا ہوا مقناطیسی میدان برقی میدان پیدا کرتا ہے۔
ایمپئر کا قانون (میکسویل کی اضافت کے ساتھ
B=μ0J+μ0ϵ0 ∂E /∂t×∇
یہ مساوات ظاہر کرتی ہے کہ مقناطیسی میدان برقی کرنٹ اور بدلتے ہوئے برقی میدانوں سے پیدا ہوتے ہیں .یہ مساوات برقی مقناطیسی میدان کی حرکیات کو کنٹرول کرتی ہیں اور کلاسیکی اور جدید فزکس کی بنیاد ہیں۔
لورینز تبدیلی
لورینز تبدیلی ایک جمودی فریم کے مختصات اور وقت کو دوسرے جمودی فریم کے ساتھ جوڑتی ہے جو پہلے فریم کے نسبت مستقل رفتار (v) سے حرکت میں ہے۔ تبدیلیاں درج ذیل ہیں:
t ‘=γ (t− vx / c^2)
x’ =γ (x−vt)
y =y
z =z
جہاں γ=1/sqrt[1−v^2/c^2] لورینز فیکٹر ہے، اور cروشنی کی رفتار ہے۔ یہ تبدیلیاں یقینی بناتی ہیں کہ روشنی کی رفتار تمام جمودی فریموں میں مستقل رہتی ہے، جو آئن سٹائن کی خصوصی اضافیت کے نظریے کا سنگ بنیاد ہے۔
لورینز تبدیلی کی مشتق
دو جمودی فریموں، S اور S' کو غور کریں، جہاں S' S کے نسبت ایک مستقل رفتار v سے x-محور کے ساتھ حرکت کر رہا ہے۔ فرض کریں کہ ایک واقعہ S میں مختصات (x, y, z, t) اور S' میں (x', y', z', t')پر واقع ہو۔ یہ تبدیلیاں جگہ-وقت وقفے کے اٹل پن سے اخذ کی جاتی ہیں:
c ^2t^2−x^2−y^2−z^2=c^2t′^2−x′^2−y′^2−z′^2
-محور کے ساتھ حرکت کے لئے، ہم اسے سادہ بنا سکتے ہیں
c ^2t^2−x^2=c^2t′^2−x′^2
فرض کریں کہ لکیری تبدیلی:
t ‘=γ (t− vx / c^2)
x’ =γ (x−vt)
ان تبدیلیوں کو جگہ-وقت وقفے کی مساوات میں ڈال کر، ہم وقفے کی اٹل پن کو یقینی بناتے ہیں، جو تبدیلی کی مساوات کی درستگی کی تصدیق کرتی ہے۔ y اور z مختصات کے لئے تبدیلیاں جمودی رہتی ہیں کیونکہ ان سمتوں میں کوئی نسبت حرکت نہیں ہے۔[3]
برقی مقناطیسی میدانوں پر اطلاق
برقی اور مقناطیسی میدانوں کو اس طرح تبدیل کرنا چاہئے کہ میکسویل کے مساوات تمام جمودی فریموں میں درست رہیں۔ میدانوں کے لئے تبدیلیاں مختصات کی لورینز تبدیلی سے اخذ کی جاتی ہیں اور درج ذیل ہیں
Ex′ =Ex
Ey′= γ (Ey−vBz)
Ez′=γ (Ez+vBy)
Bx′ =Bx
By′ =γ (By+vEz/ c^2)
Bz′=γ (Bz−vEy/ c^2)
یہ تبدیلیاں یقینی بناتی ہیں کہ میکسویل کے مساوات کی شکل اٹل رہتی ہے۔ آئیے فارڈے کے قانون کے ساتھ اس کی تصدیق کرتے ہیں
E=− ∂B/ ∂t×∇
لورینز تبدیلی کے تحت، میدانوں کی گھمنڈی اور وقت کی مشتقات اس طرح تبدیل ہوں گی کہ E اور B کے درمیان تعلق مطابقت میں رہے، اس طرح فارڈے کے قانون کی ساخت کو برقرار رکھتا ہے۔
میکسویل کے مساوات میں مکمل مشتقات
فیلڈ تھیوری میں، وقت کے ساتھ مکمل مشتق میں واضح وقت کی وابستگی اور حرکت کی وجہ سے مقامی وابستگی دونوں شامل ہیں
∇.d/dt=∂/∂t+v
ایک فیلڈ F(rt) کے لئے مکمل مشتق ہے
dF/dt=∂F/∂t+(v⋅∇)F
مقناطیسیت کے سیاق و سباق میں، مکمل مشتقات پر غور کرنا یہ یقینی بناتا ہے کہ میکسویل کے مساوات صحیح طور پر فریموں میں میدانوں کی ترقی کو بیان کرتے ہیں۔
مثال: چارج کی بقا
چارج کے تحفظ کے لئے تسلسل مساوات ہے
ρ/∂t+∇⋅J=0∂
مکمل مشتق طریقہ کار کو استعمال کرتے ہوئے، ہم اسے اس طرح دوبارہ لکھ سکتے ہیں
dρ/dt=∂ρ/∂t+v⋅∇ρ
یہ شکل لورینز تبدیلی کے تحت مطابقت میں رہتی ہے، جو یقینی بناتی ہے کہ تحفظ کا قانون تمام جمودی فریموں میں درست ہے۔
مضمرات اور اطلاقات
لورینز تبدیلیوں کے تحت میکسویل کے مساوات کی اٹل پن کے گہرے مضمرات ہیں[4]
برقی اور مقناطیسی میدانوں کا اتحاد:
برقی اور مقناطیسی میدان الیکٹرومیگنیٹک فیلڈ ٹینسر,Fμν کے اجزاء ہیں، جو لورینز تبدیلیوں کے تحت کووریئنٹ طور پر تبدیل ہوتا ہے۔
برقی مقناطیسی مظاہر میں اضافیت: جیسے برقی مقناطیسی انڈکشن کے مظاہر کو قدرتی طور پر مشاہدین کی نسبت حرکت سے بیان کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک حرکت کرتی ہوئی مقناطیس جو ایک موصل میں برقی میدان پیدا کرتی ہے، مختلف جمودی فریموں سے دیکھی جا سکتی ہے، پھر بھی عمل کے قوانین مطابقت میں رہتے ہیں۔
ٹیکنالوجیکل اطلاقات: لورینز تبدیلیوں کو سمجھنا ذرات کے معجلوں کے ڈیزائن اور آپریشن میں اہم ہے، جہاں ذرات روشنی کی رفتار کے قریب رفتاروں پر سفر کرتے ہیں، جس میں اضافیتی تصورات کی ضرورت ہوتی ہے۔
نظری فزکس: ورینز اٹل پن جدید فیلڈ نظریات کی تشکیل میں ایک بنیادی اصول ہے، بشمول کوانٹم الیکٹروڈائنامکس اور عمومی اضافیت۔
نتیجہ
لورینز تبدیلیوں اور میکسویل کے مساوات کے درمیان تعلق جدید فزکس کا سنگ بنیاد ہے، جو برقی مقناطیسیت اور اضافیت کے نظریے کے درمیان گہرے تعلقات کو ظاہر کرتا ہے۔ میکسویل کے مساوات کی شکل کو اٹل بنا کر، لورینز تبدیلی یقینی بناتی ہے کہ فزکس کے قوانین مختلف جمودی فریموں میں مطابقت میں رہیں۔ یہ مطابقت نہ صرف برقی مقناطیسی نظریے کی سالمیت کو برقرار رکھتی ہے بلکہ نظری تفہیم اور عملی اطلاقات دونوں میں ترقی کے لئے راہ ہموار کرتی ہے۔[5]