خلاصہ
Display
01) Coordinate time (GM/c^3) 11) BL r coordinate (GM/c^2) 21) Radius of gyration (GM/c^2) 31) Observed framedragging rate (c^3/G/M)
02) Affine parameter (GM/c^3) 12) BL φ coordinate (radians) 22) Cartesian radius (GM/c^2) 32) Local framedragging velocity (c)
03) 1st derivative (dt/dτ) 13) BL θ coordinate (radians) 23) BH Irreducible mass (M) 33) Cartesian framedragging velocity (c)
04) Grav. time dilation (dt/dτ) 14) dr/dτ (c) 24) Kinetic energy (hf) 34) Proper velocity (c, dl/dτ)
05) Local energy (dt/dτ, mc^2) 15) dφ/dτ (c^3/G/M) 25) Potential energy (hf) 35) Observed velocity (c, d{x,y,z}/dt)
06) Cartesian radius (GM/c^2) 16) dθ/dτ (c^3/G/M) 26) Total energy (hf) 36) Escape velocity (c)
07) x Axis (GM/c^2) 17) d^2r/dτ^2 (c^6/G/M) 27) Carter constant (GMhf/c^3) 37) Local r velocity (c)
08) y Axis (GM/c^2) 18) d^2φ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 28) φ angular momentum (GMhf/c^3) 38) Local θ velocity (c)
09) z Axis (GM/c^2) 19) d^2θ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 29) θ angular momentum (GMhf/c^3) 39) Local φ velocity (c)
10) travelled distance (GM/c^2) 20) Spin parameter (GM^2/c) 30) Radial momentum (hf/c) 40) Total local velocity (c)
Equations of motion
All formulas come in natural units:
G
=
M
=
c
=
1
{\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}
Coordinate time by proper time (dt/dτ):
t
˙
=
2
E
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
L
z
r
Δ
Σ
+
E
=
ς
1
−
v
2
{\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}
Radial coordinate time derivative (dr/dτ):
r
˙
=
Δ
p
r
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's r-component (pr/dτ):
p
˙
r
=
(
r
−
1
)
(
μ
(
a
2
+
r
2
)
−
k
)
+
2
E
2
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
E
L
z
+
Δ
μ
r
Δ
Σ
−
2
p
r
2
(
r
−
1
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
r
=
v
r
1
+
μ
v
2
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Latitudinal time derivative (dθ/dτ):
θ
˙
=
p
θ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's θ-component (pθ/dτ):
p
˙
θ
=
sin
θ
cos
θ
(
L
z
2
/
sin
4
θ
−
a
2
(
E
2
+
μ
)
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
θ
=
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
Longitudinal time derivative (dФ/dτ):
ϕ
˙
=
2
a
E
r
+
L
z
csc
2
θ
(
Σ
−
2
r
)
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's Ф-component (pФ/dτ):
p
˙
ϕ
=
0
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}
Carter-constant (I is the orbital inclination angel):
Q
=
p
θ
2
+
cos
2
θ
(
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
+
L
z
2
sin
2
θ
)
=
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
sin
2
I
+
L
z
2
tan
2
I
{\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}
Carter k (constant):
k
=
a
2
(
E
2
+
μ
)
+
L
z
2
+
Q
{\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}
Total energy (constant):
E
=
(
Σ
−
2
r
)
(
θ
˙
2
Δ
Σ
+
r
˙
2
Σ
−
Δ
μ
)
Δ
Σ
+
ϕ
˙
2
Δ
sin
2
θ
=
Δ
Σ
(
1
+
μ
v
2
)
χ
+
Ω
L
z
{\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}
Angular momentum on the Ф-axis (constant):
L
z
=
sin
2
θ
(
ϕ
˙
Δ
Σ
−
2
a
E
r
)
Σ
−
2
r
=
v
ϕ
R
¯
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
with the radius of gyration
R
¯
=
χ
Σ
sin
θ
{\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}
Frame Dragging angular velocity (dФ/dt):
ω
=
2
a
r
χ
{\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}
Gravitational time dilation (dt/dτ):
ς
=
χ
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}
Local velocity on the r-axis:
v
r
1
+
μ
v
2
=
r
˙
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Local velocity on the θ-axis:
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
=
θ
˙
Σ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}
Local velocity on the Ф-axis:
v
ϕ
1
+
μ
v
2
=
L
z
R
¯
ϕ
{\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}
with the cartesian coordinates:
x
=
r
2
+
a
2
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
r
2
+
a
2
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}
The observed velocity β is given by:
β
=
(
d
x
/
d
t
)
2
+
(
d
y
/
d
t
)
2
+
(
d
z
/
d
t
)
2
{\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}
The local escape velocity is given by the relation:
ς
=
1
/
1
−
v
e
s
c
2
→
v
e
s
c
=
ς
2
−
1
/
ς
{\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}
Shorthand Terms:
Σ
=
a
2
cos
2
θ
+
r
2
,
Δ
=
a
2
+
r
2
−
2
r
,
χ
=
(
a
2
+
r
2
)
2
−
a
2
sin
2
θ
Δ
{\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}
Sources: [1] [2] [3] [4] [5] [6]
References
↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime , p. 2+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits , p. 30+
↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes , p. 5+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait , p. 2+
↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): The Bible archive copy at the Wayback Machine , p. 897+
↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen
اجازہ کاری
میں اس تخلیقی کام کے حقوق کا مالک ہوں اور اسے مندرجہ ذیل اجازت نامے کے تحت شائع کرتا ہوں:
آپ آزاد ہیں:
شیئر کرنے – کام کو نقل، تقسیم یا منتقل کرنے کے لیے
ریمکس کے لیے – کام منبطق کرنے کے لیے
مندرجہ ذیل شرائط کے تحت:
انتساب – آپ کو اس کام کا انتساب مصنف یا اجازت دہندہ کے بتائے گئے طریقہ کے مطابق دینا ہوگا (تاہم یہ انتساب اس طرح نہیں ہونا چاہیے کہ اسے دیکھ کر ایسا محسوس ہو کہ اصل مصنف یا اجازت دہندہ آپ کے یا آپ کے ذریعہ اس کام کے استعمال کرنے کے حامی ہیں)۔
یکساں شراکت – اگر آپ اس کام میں کوئی تبدیلی یا ترمیم کرتے ہیں یا اس کام پر مبنی کچھ نیا بناتے ہیں تو اسے بھی آپ اسی یا اس جیسے کسی اجازت نامے کے تحت شائع کر سکتے ہیں۔ https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 true true
File usage
187
189
8
8
758
500
inner ergosphere and ring singularity
اردو Add a one-line explanation of what this file represents
انگریزی Photon orbit around an extremal Kerr black hole
جرمن Photonenorbit um ein maximal rotierendes schwarzes Loch