لکیری ذیلی فضا

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): ایک مجموعہ (set) کا ذیلی مجموعہ میں اصل مجموعہ مٰٰیں موجود عنصر میں سے کچھ عناصر ہوں گے۔

• لکیری ذیلی فضا = سمتیہ ذیلی فضا

سمتیہ مکاں کے مجموعہ کا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود بھی ایک سمتیہ فضا ہو، کو سمتیہ ذیلی فضا کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے vector subspace کہتے ہیں۔ کوئی بھی ذیلی مجموعہ سمتیہ فضا کے قواعد 2 سے 5 پورے کرے گا۔ یہ جاننے کے لیے ذیلی مجموعہ ایک سمتیہ فضا ہے یا نہٰیں، ہمیں صرف اسے قواعد 1 کے لیے پرکھنا ہوتا ہے۔

مثال

اگر $\ m\leq n$، تو "سمتیہ فضا" $\mathbb {R} ^{n}$ کی ایک "سمتیہ ذیلی فضا" $\mathbb {R} ^{m}$ ہو گی۔

مثال

فائل:Simtia planes 3 2.png تصویر میں معکب فضا $\mathbb {R} ^{3}$ کی ایک سمتیہ ذیلی فضا نیلے پلین سے دکھایا گئی ہے۔ $\mathbb {R} ^{3}$ میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں X، Y، Z، کی اطراف پیمائیش، ابتدا سے ) سے یوں دیا جاتا ہے، $\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ ، جبکہ سمتیہ ذیلی فضا (نیلا پلین) پر سمتیہ یوں ہے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]$
جو میٹرکس تفاعل کے ذریعہ یوں لکھا جا سکتا ہے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-6&17&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی ہے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) کے لحاظ سے پھر بھی اس کا کوئی نکتہ ڈھونڈنے کے لیے تین عدد چاہیے ہیں۔ اگر ہم ان قدرتی بنیاد سمتیہ کو ایسے گھمائیں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین کے متوازی ہو جائیں، تو ان نئے بنیاد سمتیہ کی رو سے نیلے پلین کا کوئی بھی نکتہ لکھتے ہوئے تیسرا عدد صفر ہو گا۔ اس تناظر میں لکیری استحالہ میں مثال 1 بھی دیکھو، جس کی رو سے نیلے پلین کے کسی نکتہ کو لکھنے کے لیے دو عدد کافی ہو سکتے ہیں۔ گویا نیلا پلین $\mathbb {R} ^{3}$ کی سمتیہ ذیلی فضا ہے جس کا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ہے۔

مسلئہ اثباتی

V ایک سمتیہ مکاں ہو جس کا بُعد n ہو۔

• سمتیہ مجموعہ $\ v_{1},v_{2},\cdots ,v_{t}$ اس فضا میں t باہمی لکیری آزاد سمتیوں کا مجموعہ ہو، جہاں $\ t<n$۔ اب اس مجموعہ میں $\ n-t$ سمتیوں کا اضافہ کر کے اسے فضا V کے لیے بنیاد سمتیہ مجموعہ بنیایا جا سکتا ہے۔ یعنی ایسے سمتیہ $\ v_{t+1},v_{t+2},\cdots ,v_{n}$ ڈھونڈے جا سکتے ہیں کہ $\ v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$ فضا V کا بنیاد سمتیہ مجموعہ ہو۔

• فضا V کے بُعد (ڈائیمینشن) کو ہم dim(V) لکھتے ہیں۔ اگر فضا U، فضا V کی ذیلی فضا ہو، تو ${\hbox{dim(U)}}\leq {\hbox{dim(V)}}$

• اگر ${\hbox{dim(U)}}={\hbox{dim(V)}}$، تو لازمی طور پر (ایسا اسی صورت ممکن ہے اور صرف اسی صورت ممکن ہے) $U=V$۔ یعنی دو لکیری فضاؤں کے بُعد برابر ہونے کا لازمی مطلب ہے کہ دونوں اصل میں ایک ہی فضا ہیں۔

مزید دیکھیے

• سمتیہ مکاں

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات