مکسور

اصطلاح	term
مکسور تفصیل	fractal magnification

ایسے خود مشابہ مجموعہ کو کہتے ہیں، جسے جتنی ہی تفصیل میں جا کر دیکھیں، خود مشابہ ہی نظر آتا ہے۔ قدرت میں اگر سمندر کی ساحل کو قریب سے دیکھیں یا دور سے، ساحل ایک ہی طرح کی ٹوٹی ٹوٹی لکیرٰیں معلوم ہوتی ہے۔ اگر ساحل کو ہوائی جہاز سے دیکھا جائے، تو ساحل ٹوٹی لکیروں کا نقشہ پیش کرے گی۔ اسی ساحل کے ساتھ سڑک پر گاڑی سے دیکھیں، تو مزید تفصیل نظر آئے گی، جو ہوائی جہاز سے نہیں نظر آتی تھی۔ اب اگر ساحل کے ساتھ چہل قدمی کریں تو مزید تفصیل دیکھائ دے گی۔ اب تصور کرو کہ ایک چیونٹی ساحل پر رینگ رہی ہے، اس کو ہر ریت کا زرّہ پہاڑ معلوم ہوتا ہے اور وہ ان بدلتے ہوئے نظارے کی مزید تفصیل دیکھے گی۔ مگر ہر تفصیل میں نقشہ ایک ہی طرح کا ہے۔ فریکٹل اسی طرح کے مظاہر کو ریاضاتی طور پر مطالعہ کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ تصویر 1 میں دیکھو کہ اگرچہ "برفباری گالا" فریکٹل کا محیط لانتہائ ہے، مگر اس کا رقبہ محدود ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ناپ کی عام تعریف اس طرح کی شکلوں میں شاید مفید نہ ہو۔

تصویر 1۔ کوک "برفباری کا گالا " ایک ایسی لامتنائ تعمیر کی انتہا ہے، جو ایک تکون سے شروع ہوتی ہے اور پھر یکے بعد دیگرے ہر لکیر کو چار لکیروں کے سلسلہ سے بدل دیتی ہے، جو ایک تکونی "گومڑا" جنم دیتے ہیں۔ جب ایک نئ تکون کا اضافہ ہوتا ہے (ایک تکرار)، تو اس شکل کا محیط 4/3 گنا ہو جاتا ہے اور اس طرح انتہا میں لاانتہائ کی جانب جاتا ہے، جیسے تکرار کا سلسلہ آگے چلتا ہے۔ اس لیے "برفباری گالے" کا محیط لانتہائ ہے، مگر اس کا رقبہ محدود رہتا ہے۔ اس لیے اس طرح کی تعمیرات کو "جناتی" تعمیرات کہا جاتا ہے۔ خیال رہے کہ اس شکل کا محیط اصلاً لامحدود ہے۔

تصویر 2: سیرپنسکی تکون (سفید رنگ میں)

تعریف: ریاضی میں فریکٹل ایسے (خود مشابہ) مجموعہ کو کہتے ہیں، جس کے بُعد (وضعیت) اور ہاسڈارف بُعد برابر نہ ہوں۔

یاد رہے ہاسڈارف بُعد کا صحیح عدد ہونا ضروری نہیں ہوتا، بلکہ فریکٹل کے لیے یہ اکثر عدد اور کسر ہوتا ہے اور فریکٹل کا بُعد (وضعیت) اس کے ہاسڈارف بُعد سے کم (یا برابر) ہوتا ہے۔ مستوی (plane) میں کسی بھی فریکٹل کا ہاسڈارف بُعد 1 اور 2 کے درمیان ہو گا۔

تصویر 3 مینڈلبرو مجموعہ

تصویر 2 میں مجموعہ سیرپنسکی تکون دکھایا گیا ہے، جو ایک فریکٹل ہے۔ اس کا ہاسڈارف بُعد 1.585 ہے (جبکہ اس کا بُعد (وضعیت) 1 ہے)۔

فریکٹل کی سب سے مشہور مثال مینڈلبرو مجموعہ ہے (تصویر 3)، جو اس سادہ سی متوالیہ نسبت کی تکرار سے بنتا ہے:

$z_{n}=z_{n-1}^{2}+C$

جہاں تمام عدد مخلوط عدد ہیں اور C ایک دائم ہے۔ اس فریکٹل کا ہاسڈارف بُعد پورا 2 ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ یہ سب سے پچیدہ ترین فریکٹل میں سے ہے۔

مزید دیکھیے

• خود مشابہ مجموعہ
• تموینی نقشہ

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات