یکی عددی سر والی لکیری مساوات

اصطلاح	term
یکی عددی سر حَل	unit coefficient solution

لکیری مساوات جس کے عددی سر یکی ہوں

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}=m

جہاں k اور m مثبت صحیح عدد ہیں، کے ایسے حل جو صحیح عدد ہوں کا جاننا تالیفیات کے شعبے میں کارآمد ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر اگر آپ کے پاس نیلے، پیلے اور لال رنگ کے گیندوں کی لامحدود تعداد ہے اور آپ نے ان میں سے چار گیند چننے ہیں، تو نیلے گیندوں کی چنی تعداد کو $x_{1}$ کہتے ہوئے، پیلے کو $x_{2}$ اور لال کو $x_{3}$ ،مساوات یوں بنی

x_{1}+x_{2}+x_{3}=4

اس مساوات کے ممکن حلوں $(x_{1},x_{2},x_{3})$ کی تعداد نیچے دیے مسلئہ اثباتی 2 کی رُو سے $C(6,2)=15$ ہے۔

مسلئہ اثباتی 1

لکیری مساوات

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}=m

کے مثبت صحیح عدد حلوں کی تعداد $\ C(m-1,k-1)$ ہے (دیکھو تولیف)۔ یعنی ایسے حل $\ (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{k})$ (جو مساوات کی تسکین کرتے ہوں،) اور $x_{i}$ صحیح عدد ہو اور $x_{i}>0$ مثبت ہو۔

مسلئہ اثباتی 2

لکیری مساوات

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}=m

کے غیر منفی صحیح عدد حلوں کی تعداد $\ C(m+k-1,k-1)$ ہے (دیکھو تولیف)۔ یاد رہے کہ $\ C(m+k-1,k-1)=C(m+k-1,m)$

مسلئہ اثباتی 3

لکیری مساوات

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}=m

کے صحیح عدد حلوں کی تعداد جبکہ $x_{i}>b_{i}\,,\,\,i=1,2,\cdots ,k$ ہو،

\ C(m-b_{1}-b_{2}-\cdots -b_{r}-1,k-1)

ہے۔

مثال 1

مساوات

x+y+z=6

کے کتنے حل ہیں، جبکہ

x\leq 2,y\leq 3,z\leq 4

فرض کرو کہ ایسے حل جبکہ $x>2$ مجموعہ A ہیں۔ ایسے حل جبکہ $y>3$ مجموعہ B ہیں۔ ایسے حل جبکہ $z>4$ مجموعہ C ہیں۔ تمام مثبت حل مجموعہ U ہیں۔ مسلئہ اثباتی 1 سے مجموعہ U میں ارکان کی تعداد $\ |U|=C(5,2)=10$ ہے۔ مسلئہ اثباتی 3 سے $\ |A|=C(3,2)=3$ ، $\ |B|=C(2,2)=1$ , $\ |C|=0$ ، $\ |AB|=0$ ، $\ |AC|=0$ ، $\ |BC|=0$ ، $\ |ABC|=0$ ۔ مجموعہ A کے متمم کو $A^{\prime }$ لکھتے ہیں، یعنی $A^{\prime }=U-A$ ، ایسے حل کا مجموعہ جبکہ $x\leq 2$ . اصولِ شمول استشنا کی رُو سے مساوات کے ممکنہ حل کی تعداد