مصفوفہ کی قطبی ہئیت

اگر A مربع غیر-اکیلوی مصفوفہ ہو، تو اسے ایک ایکاوی مصفوفہ U اور ہرمشن غیر منفی بالکل قالب H کے حاصل ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے

$A=HU$

س کے علاوہ یہ معلوم مسئلہ ہے کہ اگر H غیر منفی بالکل ہرمشن قالب ہو، تو ایسی ہرمشن قالب X وجود رکھتی ہے کہ $H=\exp(X)$ ہو۔ اس طرح قالب A کو یوں لکھا جا سکتا ہے

$A=\exp(X)U$

جو قالب A کی قطبی ہیئت کہلاتا ہے اور یہ ہیئت منفرد ہے۔ یہاں مخلوط عدد z کی قطبی صورت $r\exp(i\theta )$ سے مماثلت ہے:

$z=r\exp(i\theta )$

اس ہیئت میں $\exp(X)$ قالب A کا مطلقہ ہے (جو r کے مماثل ہے) اور U اس کا گھماؤ ہے (جو $\exp(i\theta )$ کے مماثل ہے)۔

اس کو یوں سمجھا حا سکتا ہے۔ ایکاوی مصفوفہ U کے ذریعہ A کو ترچھی بنایا جا سکتا ہے، یعنی

$U^{\dagger }AU={\begin{bmatrix}\alpha _{0}&0&0&...\\0&\alpha _{1}&0&...\\0&0&\alpha _{2}&...\\...&...&...\end{bmatrix}}={\text{diag}}(\alpha _{k})$

اب مخلوط عدد $\alpha _{k}$ کو قطبی صورت یوں $\alpha _{k}=r_{k}\exp(i\theta _{k})$ لکھا جا سکتا ہے جہاں $r_{k}>0,\theta _{k}\in \mathbb {R}$ ہیں۔ اس لیے

${\text{diag}}(\alpha _{k})={\text{diag}}(r_{k}){\text{diag}}(e^{i\theta _{k}})$

اور ہم لکھ سکتے ہیں

$A=U{\text{diag}}(r_{k})U^{\dagger }U{\text{diag}}(e^{i\theta _{k}})U^{\dagger }$

خیال رہے کہ کسی ایکوی قالب U کے لیے ہمیشہ $UU^{\dagger }=1$ ہوتا ہے۔

اب یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ قالب $U{\text{diag}}(r_{k})U^{\dagger }$ غیر منفی بالکل ہرمشن ہے اور قالب $U{\text{diag}}(e^{i\theta _{k}})U^{\dagger }$ ایکاوی ہے۔