ویکیپیڈیا

"سمتیہ مکاں" کے نسخوں کے درمیان فرق

تاریخچہ دیکھیں
→ گزشتہ ترمیماگلی ترمیم ←
حذف شدہ مندرجات اضافہ شدہ مندرجات
بصریویکی متن
م خودکار: خودکار درستی املا ← ابتدا، سے، سے، اور، شے، کی بجائے
سطر 1:
{{اصطلاح برابر|سمتیہ فضا <br /> لکیری فضا|Vector Space <br /> Linear Space}}
ایسے عناصر کا مجموعہ جہاں جمع/تفریق کے عمل ممکن ہوں،ہوں اور عناصر کو چھوٹا بڑا کیا جا سکتا ہو، '''سمتیہ فضا''' کہلاتا ہے۔ اب ہم مکمل تعریف دیتے ہیں۔ اگر کسی مجموعہ ''V'' کے عناصر ''X''، ''Y''، ''Z''، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد پر پورے اتریں، تو ایسے مجموعہ کو ''سمتیہ فضا'' کہیں گے،گے اور عناصر کو ''سمتیہ'':
=== قواعد ===
* جمع
سطر 21:
== مثال <math> \mathbb{R}^2 </math> ==
[[ملف:Simtia vetor single.png]]
ایک مُسْتَوی (Plane)میں کسی بھی نکتہ کو دو پیمائشوں کے ذریعہ ڈھونڈا جا سکتا ہے، ایک ابتداءابتدا (origin) مقرر کر کے، افقی پیمائیش کو عموماً ''x'' لکھا جاتا ہے اور عمودی پیمائیش کو ''y'' ۔ اس طرح اس نکتہ کو عموماً ‭''(x, y)''‬ لکھا جاتا ہے۔ ان دو اعداد (جو [[میدان]] <math> \mathbb{R} </math> میں ہیں) کو ایک <math>\ 2 \times 1 </math> [[میٹرکس]] کے بطور یوں
<math>\left[\begin{matrix} x \\ y\end{matrix}\right]</math>
لکھا جا سکتا ہے ۔ یعنی پلین کے کسی بھی نکتہ کو بطور سمتیہ یوں
سطر 31:
اور زاویہ
<math> \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x} </math>
سے دیا جاتا ہے،ہے اور سمتیہ کو تصویری صورت میں ابتداءابتدا <math>(0,0)</math> سے نکتہ <math>(x,y)</math> تک ایک تیر کے نشان سے دکھایا جاتا ہے، جس کی لمبائی ''r'' اور دائیں افقی دھُرا (x-axis) سے زاویہ <math>\theta</math> ہوتا ہے۔ غور کرو کہ قطبی صورت میں بھی نکتہ کو دو اعداد سے لکھا جاتا ہے (مطلق قیمت اور زاویہ) مگر ان دو مقداروں کو بطور میٹرکس نہیں لکھا جا سکتا (یعنی میٹرکس حساب کے قاعدے لاگو نہیں کیے جا سکتے)۔
 
شکل 2 میں نکتہ ‭''(x=a, y=b)''‬ کو سمتیہ ''U'' سے دکھایا ہے، جہاں ابتداءابتدا ‭''(x=0, y=0)''‬ پر ہے۔ اسی طرح شکل 2 کے نکات کو سمتیہ کے روپ میں (بطور میٹرکس) یوں لکھتے ہیں:
<math>
U=\left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right] \,,\,
سطر 58:
\left[\begin{matrix} c-a \\ d-b \end{matrix}\right]
</math>
غور کرو کہ سمتیہ ''R'' کی سمت نکتہ ‭''(x=a, y=b)''‬ سے نکتہ ‭''(x=c, y=d)''‬ سیدھی لکیر کی طرف ہے،ہے اور سمتیہ کی لمبائی (مطلق قیمت) ان نکات کے درمیان میں سیدھی لکیر میں فاصلہ ہے۔ اس لیے اس سمتیہ کو ان نکات کے درمیان میں [[ہٹاؤ]] کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھو کہ سمتیہ ''R'' چونکہ دو نکتوں کے درمیاں ہے، اس لیے اگر ابتداءابتدا کو کسی اور نکتہ پر لے جایا جائے، تو اس کا اس سمتیہ ''R'' پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس لیے اکثر کہا جاتا ہے کہ سمتیہ ایسی شئےشے ہے جو ایک ''مطلق قیمت'' (magnitude) اور فضا میں ایک ''رُخ'' (direction) سے تعریف ہو جاتا ہے۔
اسی طرح نکتہ ‭''(x=c, y=d)''‬ سے نکتہ ‭''(x=e, y=f)''‬ کے درمیان میں ہٹاؤ سمتیہ ''G'' ہے، جو سمتیہ ''V'' کو سمتیہ ''W'' میں سے تفریق کر کے حاصل ہوتا ہے۔
<math>
سطر 66:
\left[\begin{matrix} e-c \\ f-d \end{matrix}\right]
</math>
فرض کرو کہ ہم نکتہ ‭''(x=a, y=b)''‬ سے نکتہ ''(x=c, y=d)'' ہٹتے ہیں (سمتیہ ''R'' )، اور پھر نکتہ ''(x=e, y=f)'' کی طرف ہٹ جاتے ہیں (سمتیہ ''G'' )۔ اب ہمارا کُل ہٹاؤ سمتیہ ''B'' ہے جو سمتیہ ''R'' اور سمیتہ ''G'' کی جمع ہے۔
<math>
B= R + G =
سطر 74:
W - U
</math>
غور کرو کہ سمتیہ ''B'' صرف اپنے شروع اور آخر کے نکات سے نکل آتا ہے (سفر کی ابتدا اور آخری منزل،منزل اور درمیانی منزل سے آزاد ہے)۔
 
اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت اور رُخ سے تعریف ہو جاتا ہے، اس لیے کسی سمتیہ کو اس کے متوازی گھسیٹا جا سکتا ہے۔ شکل 3 میں ہم نے سمتیہ ''R''، ''B'' ، ''W'' ، کو گھسیٹ کر ان کی دُم ابتداءابتدا پر رکھ دی ہیں۔
 
=== سمتیہ تفریق: جیومیٹری ===
اب جیومیٹری کے نقطہ نظر سے سمتیہ تفریق پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ ''B'' میں سے ''R'' کو تفریق کر کے سمتیہ ''G'' ملتا ہے، ''G=B-R'' ۔ اس کا طریقہ یوں ہوا کہ ''B'' اور ''R'' کی دُمیں ملا دو،دو اور ''R'' کے سر سے ''B'' کے سر تک سمتیہ فرق ''G'' ہے۔
 
=== سمتیہ جمع: جیومیٹری ===
اسی طرح جیومیٹری کے نقطہ نگاہ سے سمتیہ جمع پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ ''R'' اور ''G'' کو جمع کر کے سمتیہ ''B'' ملتا ہے، ''B=R+G'' ۔ اس کا طریقہ یوں ہوا کہ سمتیہ ''G'' کی دُم سمتیہ ''R'' کے سر کے ساتھ جوڑو،جوڑو اور پھر ''R'' کی دُم سے ''G'' کے سر تک سمتیہ جمع ''B'' ہے۔
 
== مثال <math> \mathbb{R}^n </math> ==
بعینہ <math> \mathbb{R}^n </math> فضا میں نکتوں کو بطور <math>\ n \times 1</math> [[میٹرکس]] لکھا جا سکتا ہے،ہے اور یہ نکتے ایک سمتیہ فضا بناتے ہیں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات کو بجائے <math>\ n \times 1</math> میٹرکس کے ایک <math>\ 1 \times n</math> میٹرکس کے بطور بھی لکھا جاتا ہے۔) ایک سمتیہ کو یوں لکھا جائے گا:
<math>
X = \left[\begin{matrix}
سطر 95:
</math>
 
مثال کے طور پر تین رُخی مستطیل فضا میں کسی جسم کا مقام تین پیمائیشوں ''z''، ''y'' ،''x''، سے دیا جا سکتا ہے،ہے اور اس طرح اس جسم کی [[سمتار]] بھی تین اعداد سے دی جا سکتی ہے۔ اس طرح وقت ''k'' پر جسم کے مقام اور سمتار پر مبنی 6رُخی سمتیہ یوں لکھا جا سکتا ہے:
<math>
X_k = \left[\begin{matrix}
سطر 125:
</math>
 
غور کرو کہ سرخ دھُرا کےکی بجائے ہم سبز دھُرا بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے شکل 4 میں سبز نکتوں سے دو سمتیہ دکھائے گئے ہیں، جو (سرخ دھُرا کے حوالے سے ) یوں ہیں:
<math>v_0=\left[\begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]</math>
اور
سطر 167:
\left[\begin{matrix}0.8 \\ 1.4 \end{matrix}\right]
</math>
غور کرو کہ اس میٹرکس کے ستون مدیدی سمتیہ ہیں،ہیں اور ہمیں یہ [[یکلخت لکیری مساوات کا نظام]]
<math> \begin{matrix}
c_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 0.8 \\
سطر 209:
<math>v= c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1}</math>
<br />
ایسے مجموعہ کو ''مدیدی سمتیہ'' کہتے ہیں،ہیں اور کو ان مدیدی سمتیے کے حوالے سے
<math>\begin{matrix}c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\end{matrix}</math>
کو سمتیہ <math>v</math>
سطر 333:
<br />
[[ملف:simtia planes 3 2.png]]
مثال: تصویر میں معکب فضا <math>\mathbb{R}^3</math> کی ایک سمتیہ ذیلی فضا نیلے پلین سے دکھایا گئی ہے۔ <math>\mathbb{R}^3</math> میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں ''X''، ''Y''، ''Z''، کی اطراف پیمائیش، ابتداءابتدا سے ) سے یوں دیا جاتا ہے،
<math>\left[\begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix}\right]</math>
، جبکہ سمتیہ ذیلی فضا (نیلا پلین) پر سمتیہ یوں ہے
اخذ کردہ از «https://ur.wikipedia.org/wiki/سمتیہ_مکاں»