دالہ مصفوفہ

یہاں ہم ایسی دالہ کا بیان کریں گے، جس فنکشن کا میدان عمل مختلط میدان $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}$ پر مربع میٹرکس ہو اور حیطہ بھی $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}$ پر مربع میٹرکس ہو۔

ایک مختلط متغیر $\ z$ کی تحلیلی (analytic) فنکشن $\ f(z)$، $\ z$ کے گرد ٹیلر سلسلہ (Taylor series) کے ذریعہ لکھی جا سکتی ہے:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\,,\,\,z\in \mathbb {C}$

اوپر کی سیریز کی تقل کرتے ہوئے ایک مربع میٹرکس A کے لیے یہی فنکشن یوں لکھا جا سکتا ہے

$f(A)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}A^{k}\,,\,\,A\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}$

اب ہم اس میٹرکس فنکشن کو میٹرکس کی ویژہ قیمت کی مدد سے نکالنے کا ایک آسان طریقہ بتاتے ہیں۔

جیسا کہ یہاں بیان ہوا کہ اگر ایک $n\times n$ مربع میٹرکس A کی تمام ویژہ قیمتیں (اصل یا مختلط عدد) $\ \lambda _{0},\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n-1}$ منفرد ہوں، تو ایسی "ویژہ سمتیہ" پر مشتمل میٹرکس $\ U$ نکالی جا سکتی ہے، جس کی مدد سے میٹرکس $\ A$ کو ویژہ وتر میٹرکس کے ساتھ رشتہ اس مساوات سے بیان کیا جا سکتا ہے:

$A=U\left[{\begin{matrix}\lambda _{0}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{1}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n-1}\end{matrix}}\right]U^{-1}$

اب

$f(A)=U\left[{\begin{matrix}f(\lambda _{0})&0&\cdots &0\\0&f(\lambda _{1})&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &f(\lambda _{n-1})\end{matrix}}\right]U^{-1}$

اوپر دیے طریقہ سے میٹرکس کی پڑھائی میں ویژہ قیمت کی اہمیت کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مربع میٹرکس $\ f(A)$ کے ویزہ سمتیہ وہی ہیں جو مربع میٹرکس $\ A$ کے ویزہ سمتیہ ہیں۔ اور اگر میٹرکس $\ A$ کی ویژہ قیمت $\ \lambda$ ہے تو میٹرکس $\ f(A)$ کی ویژہ قیمت $\ f(\lambda )$ ہے۔

مثال

• میٹرکس اَسّی دالہ

$A=\left[{\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}7&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]^{-1}$

$\exp(A)=\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\exp(7)&0\\0&\exp(-1)\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}548.50&548.13\\548.13&548.50\end{matrix}}\right]$

• میٹرکس اُلٹ

$A^{-1}=\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1/7&0\\0&1/-1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}-0.429&0.571\\0.571&-0.429\end{matrix}}\right]$

مزید دیکھیے

• "کیلے ہمیلٹن" مسئلہ اثباتی
• سائیلیب help expm, cosm, sinm, spec

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات