متعدد رقمی مسلئہ اثباتی

اصطلاح	term
متعدد رقمی عددی سر	multinomial coefficient

متعدد رقمی مسلئہ اثباتی، متعدد رقمی $(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k})$ کی طاقت $\ (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k})^{n}$، جہاں n غیر منفی صحیح عدد ہے، کے پھیلاؤ کا کلیہ دیتا ہے۔ اس پھیلاؤ کو $\sum$ کی علامت استعمال کرتے ہوئے یوں لکھ سکتے ہیں

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k})^{n}=\sum {\binom {n}{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$

جہاں $\sum$ (حاصل جمع) $r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k}$ کی تمام غیر منفی اقدار پر کیا جائے گا جو $r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{k}=n$ کی تسکین کریں۔

${\tbinom {n}{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{k}^{r_{k}}$ کو متعدد رقمی مسلئہ اثباتی کی عام رقم کہتے ہیں۔ اور جہاں

${\binom {n}{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}}={\frac {n!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{k}!}}$

اور ! کی علامت عاملیہ کو ظاہر کرتی ہے۔

اس مسلئہ سے بآسانی یہ کلیہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ:

$\sum _{r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{k}=n,\,r_{i}\geq 0}{\binom {n}{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}}=k^{n}$

مزید دیکھیے

• تولیف
• دو رقمی مسلئہ اثباتی

حوالہ جات

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

Multinomial theorem