مرکزی حد مسئلہ اثباتی

اصطلاح	term
مرکزی حد مسلئہ اثباتی	Central limit theorem

احتمال نظریہ میں یہ مسئلہ اثباتی بنیادی اہمیت رکھتا ہے۔ اس کا بیان ہے کہ بہت سے آزاد تصادفی متغیروں کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر کی توزیع تقریباً معمول توزیع ہو گی۔ اس خاصیت کی وجہ سے قدرت کے بہت سے مظہر جو بہت سے آزاد سازندہ کی تفاعل سے وجود میں آتے ہیں، معمول توزیع کے حامل ہوتے ہیں۔ تصویر میں ہوا کے سالمات دکھائے گئے ہیں جو حرارت کی وجہ سے بے ڈھنگی اطراف میں سفر کرتے ہیں، ایک دوسرے سے یا دیواروں سے ٹکرا کر سمت تبدیل کرتے رہتے ہیں۔ تصویر میں فرضی سرخ لکیر کو "دائیں سے بائیں" عبور کرنے والے ہوا کے سالمات اور "بائیں سے دائیں" عبور کرنے والے سالمات کی تعداد کا فرق، (کسی مقررہ دورانیہ میں) ایک تصادفی متغیر ہے۔ اس تصادفی متغیر کی توزیع مسئلہ اثباتی کی رو سے "معمول توزیع" ہو گی، جس کا اوسط صفر ہے۔ اگر ہوا کا درجہ حرارت بڑھایا جائے تو تصادفی متغیر کے تفاوت میں اضافہ ہو گا۔

فائل:Moleculesrandom.png

فرضی سرخ لکیر کو "دائیں سے بائیں" عبور کرنے والے ہوا کے سالمات اور "بائیں سے دائیں" عبور کرنے والے سالمات کی تعداد کا فرق، (کسی مقررہ دورانیہ میں) ایک تصادفی متغیر ہے، جس کی توزیع مسئلہ اثباتی کی رو سے "معمول توزیع" ہو گی۔

بیان (آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ)

اگر $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر ہوں، جن میں سے ہر کا اوسط $\mu$ اور معیاری انحراف $\sigma$ ہو $\ (\sigma <\infty )$، تو تصادفی متغیر

${\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}$

کی توزیع تقریباً معمول توزیع ہو گی۔ یعنی کسی بھی اصل اعداد a اور b کے لیے ($a<b$)

$\lim _{n\to \infty }\Pr \left(a\leq {\frac {(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}-n\mu )}{{\sqrt {n}}\sigma }}\leq b\right)=\Phi (b)-\Phi (a)$

جہاں

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)dy$

معیاری معمول تَراكُمی توزیع احتمال فنکشن ہے۔

مزید دیکھیے

• نمونہ اوسط
• کثیر اعداد کا قانون

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات