نظریہ زمرہ

ریاضیات میں، نظریہ زمرہ تجریدی راہ سے ریاضیاتی ساختوں سے معاملہ کرتا ہے اور ان کے درمیان نسبتوں سے : یہ طاقم اور دالہ سے تجرید کرتا ہے اشیاء جو رسمہ میں تیروں یا تجسیم سے ربط ہوتے ہیں۔

ایک زمرہ جس میں اشیاء Z، Y، Xہیں اور تجسم g ، f

اصطلاح	term
زمرہ شے/ اشیاء تجسیم ؟ رسمہ تیر تفاعل دالہرا ؟ استحالہ	category object(s) morphism diagram arrow function functional transformation

زمرہ کی سادہ ترین مثال (جو وضعیت میں بہت اہم تصور ہے) گروہیہ کی ہے، جو تعریف کیا جاتا ہے ایسا زمرہ جس کے تیر یا تجسم تمام مقلوب ہوں۔ زمرات اب ریاضی کی تمام شاخوں میں نظر آتے ہیں، شمارندی سائنس کے کچھ علاقوں میں جہاں یہ قسموں سے ارتباط رکھتے ہیں اور ریاضیاتی طبیعیات جہاں یہ سمتیہ مکاں کو بیان کرتے ہیں۔ زمرات کا تعارف پہلی مرتبہ سیموئل ایلنبرگ اور سانڈرز ماک لین نے 1942-45 میں الجبرائی وضعیت کے اتصالی میں کرایا تھا۔

نظریہ زمرہ کے کئی چہرے ہیں جو صرف ماہرین کو نہیں بلکہ دوسرے ریاضیدانوں کو معلوم ہیں۔ 1940 کی دہائی سے ایک اصطلاح تجریدی بکواس ارفع درجے کی تجرید کی طرف حوالہ دیتی ہے، ریاضی کی دوسری شاخوں کے موازنہ میں۔ تجریدی الجبرا کی تنظیم اور کاریگری کے تجویز کرنے میں متماثلی الجبرا زمرہ نظریہ ہے۔ تیروں سے جڑے رسمہ کی بصری طریقہ سے بحث رسمہ تعاقب کہلاتا ہے۔ خیال رہے کہ زمرات کے درمیان تیروں کو دالہرا کہتے ہیں جو خاص مبدلی شرائط پوری کرتے ہیں؛ اس کے علاوہ، زمرہ رسمہ اور متوالیہ کو بطور فنکشنرا تعریف کیا جا سکتا ہے۔ دو فنکشنرا کے درمیان تیر ایک قدرتی استحالہ ہے ماتحت خاص قدرتی یا مبدلی شرائط کے۔ فنکشنرا اور قدرتی استحالہ دونوں نظریہ زمرہ میں کلیدی تصور ہیں یا نظریہ زمرہ کے حقیقی محرکیہ۔ مشہور ریاضیدان جس نے نظریہ زمرہ کی بنیاد رکھی، کے الفاظ میں: 'زمرات کو متعارف کرایا گیا فنکشنرا کو تعریف کرنے کے لیے اور فنکشنرا کو متعارف کرایا گیا قدرتی استحالہ کو تعریف کرنے کے لیے'۔

زمرات، اشیاء اور تجسیم

ایک زمرہ C درج ذیل تین ریاضیاتی ہستیوں پر مشتمل ہوتا ہے:

• ایک جماعت ob(C)، جس کے عناصر کو اشیاء کہے ہیں۔
• ایک جماعت hom(C)، جس کے عناصر کو تجسیم یا نقش یا تِیر کہے ہیں۔ ہر تجسیم f کا ایک منفرد ماخذ شے a اور ہدف شے b ہوتا ہے۔ ہم f: a → b لکھے ہیں اور کہے ہیں کہ تجسیم f، شے a کو شے b میں لے جاتا ہے۔ ہم hom(a, b) لکھے ہیں اور اس سے مراد تجسیم-جماعت ہے، یعنی a کو b میں لے جانے والے تمام تجسیم۔
• ایک ثنائی عالج $\circ$، جسے تجسیم ترکیب کہے ہیں، اس طرح کہ کسی بھی تین اشیاء a، b اور c، کے لیے، ہمارے پاس hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) ہو۔ تجاسیم f: a → b اور g: b → c کی ترکیب کو $g\circ f$ یا gf لکھا جائے ہے، ماتحت ذیل کے دو مسلمات کے :

• مشارکی: اگر f: a → b اور g: b → c اور h: c → d ہو، تو $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ اور
• شناخت: ہر شے x کے لیے، ایک تجسیم 1x : x → x وجود رکھتا ہے جسے x لے لیے شناخت تجسیم کہے ہیں، اس طرح کہ ہر تجسم f: a → b کے لیے، ہمارے پاس ${\rm {1}}_{b}\circ f=f=f\circ {\rm {1}}_{a}$ ہو۔

ان مسلمات سے مثبوت کیا جا سکتا ہے کہ ہر شے کہ لیے صرف یاک شناخت تجسیم ہوتا ہے۔ تجاسیم (جیسا کہ fg = h) کے درمیان نسبتوں کی اکثر مشرکی رسموں سے خاکہ کشی کی جاتی ہے، جہاں اشیاء کو نقطوں (کونے) سے نمائندہ کیا جاتا ہے اور تجاسیم کو تِیروں سے ۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات