وینر مصفاہ

اصطلاح	term
مطلوبہ غلطی	desired error

ریاضیاتی کاملیت میں وینر مصفاہ کامل مصفاہ کی جماعت ہیں، جو کسی مطلوبہ متوالیہ کا لکیری تخمینہ لگاتے ہیں، کسی متعلقہ معطیات متوالیہ کی مدد سے۔ لکیری مصفاہ کے احصائی حل میں تمام متوالیہ تصادفی عملیہ تصور کیے جاتے ہیں۔ ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ متوالیہ کے درجہ دوم کے احصاء (یعنی اوسط، ڈیٹا متوالیہ کی خود تضایف اور "معطیات متوالیہ" اور "مطلوبہ متوالیہ" کے درمیان مخلوط تضایف) معلوم ہیں۔ مسئلہ ایسا لکیری مصفاہ بنانے کا ہوتا ہے جس میں شوری ڈیٹا ادخال ہو، اس کا اخراج تخمینہ ہو اور مصفاہ کے اخراج پر شور کا اثر کسی کسوٹی کے تحت تصغیر ہو۔ ایک مفید کسوٹی "تخمینہ متوالیہ" اور "مطلوبہ متوالیہ" میں فرق (جسے غلطی کہتے ہیں) کے مربع کی اوسط ہے۔ اگر متوالیہ ساکن عملیہ ہوں، تو وینر مصفاہ اس کسوٹی کے تحت مسئلہ کا حل ہے۔

فائل:Linear wiener filter setup.png

تصویر 1۔ مصفاہ $H(z)=\sum _{k=0}^{K}h_{k}z^{-k}$

تصویر 1 میں اشارہ متوالیہ $x_{n}$ کسی صورت میں اشارہ متوالیہ $d_{n}$ سے متعلق ہے۔ ہم اشارہ متوالیہ $x_{n}$ کو مصفاہ H سے گزار کر اشارہ $y_{n}$ حاصل کرتے ہیں۔ ہمارا مقصد یہ ہے کہ متوالیہ $y_{n}$ تخمینہ ہو متوالیہ $d_{n}$ کا۔ یعنی مصفاہ H اس طرح چنا جائے کہ متوالیہ $d_{n}$ اور متوالیہ $y_{n}$ کے درمیان غلطی متوالیہ $e_{n}=d_{n}-y_{n}$ کا اوسط مربع کم سے کم ہو:

$\min _{H}E[e_{n}^{2}]$

تمام متوالیہ تصادفی ہیں اور اوسط سے مراد متوقع قدر ہے۔ اس کے علاوہ متوالیہ تصادفی ساکن ہیں۔ مصفاہ H ایک متناہی متوالیہ $h_{0},h_{1},\cdots ,h_{K-1}$ سے بنا ہے۔ مصفاہ کے اخراج $y_{n}$ اور ادخال $x_{n}$ کے درمیان تلفیف کا رشتہ ہے۔ اس مسئلہ میں اس رشتہ کو قالب ضرب کے ذریعہ لکھنا مفید ہے:

$y_{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&x_{n-1}&\cdots &x_{n-(K-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}h_{0}\\h_{1}\\\vdots \\h_{K-1}\end{bmatrix}}$

یا

$y_{n}={\underline {x}}_{n}^{t}{\underline {h}}$

جہاں ${\underline {x_{n}}}={\begin{bmatrix}x_{n}\\x_{n-1}\\\vdots \\x_{n-(K-1)}\end{bmatrix}}$ اور t کی علامت پلٹ (میٹرکس) ظاہر کرتی ہے۔ یہ ایک معلوم بات ہے کہ اوسط مربع غلطی $E[e_{n}^{2}]$ کی تصغیر اسی وقت ہوتی ہے جب غلطی $e_{n}$ ڈیٹا $x_{n}$ کے قائم الزاویہ ہو، یعنی

$E[{\underline {x}}_{n}e_{n}]=0$

اس معلومہ کو استعمال کرتے ہوئے

$E[{\underline {x}}_{n}e_{n}]=E[{\underline {x}}_{n}(d_{n}-y_{n})]=E[{\underline {x}}_{n}(d_{n}-{\underline {x}}_{n}^{t}{\underline {h}})]=E[{\underline {x}}_{n}d_{n}]-E[{\underline {x}}_{n}{\underline {x}}_{n}^{t}{\underline {h}}]=0$

یا

${\underline {r}}_{dx}=R_{xx}{\underline {h}}$

جہاں ${\underline {r}}_{dX}=E[{\underline {x}}_{n}d_{n}]$ سمتیہ، $d_{n}$ اور ${\underline {x}}_{n}$ کے درمیان تضایف کو ظاہر کرتا ہے اور اس کی جسمات $K\times 1$ ہے اور ${\underline {R}}_{xx}=E[{\underline {x}}_{n}{\underline {x}}_{n}^{t}]$ میٹرکس، ${\underline {x}}_{n}$ کی "خود تضایف" کو ظاہر کرتی ہے اور اس کی جسامت $K\times K$ ہے۔ چونکہ متوالیہ $d_{n}$ اور $x_{n}$ تصادفی ساکن ہیں، اس لیے یہ تضایف صرف "وقت فرق" پر منحصر ہیں۔ اس لیے ہم اس مساوات کو یوں لکھ سکتے ہیں ${\begin{bmatrix}r_{dx}(0)\\r_{dx}(1)\\\vdots \\r_{dx}(K-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{xx}(0)&&r_{xx}(1)&&r_{xx}(2)&&\cdots &&r_{xx}(K-1)\\r_{xx}(1)&&r_{xx}(0)&&r_{xx}(1)&&\cdots &&r_{xx}(K-2)\\\vdots \\r_{xx}(K-1)&&r_{xx}(K-2)&&r_{xx}(K-3)&&\cdots &&r_{xx}(0)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}h_{0}\\h_{1}\\\vdots \\h_{K-1}\end{bmatrix}}$ جہاں ہم نے تعریف کیا $\ r_{dx}(k)=E[d_{n}x_{n+k}]$ اور $\ r_{xx}(k)=E[x_{n}x_{n+k}]$ اس کے علاوہ ہم نے یہ معلومہ استعمال کیا کہ تضایف جفت دالہ ہوتی ہے ($r(k)=r(-k)$).٘ ان مساوات کو وینر ہوپف (wiener-hopf) مساوات کہا جاتا ہے۔ اس مساوات نظام سے ہمیں مصفاہ حاصل ہوتا ہے

${\underline {h}}=R_{xx}^{-1}{\underline {r}}_{dx}$

چونکہ میٹرکس $R_{xx}$ متناظر ٹوپلٹز ہے، اس لیے اس حل کے لیے میٹرکس اُلٹانے جیسے مہنگے عالج کو استعمال کرنے کی ضرورت نہیں پڑتی، بلکہ اس کے لیے ایک سستا الخوارزم لیونسن ڈربن نام سے موجود ہے۔ اس حل تک پہنچنے کے لیے ہمیں تصادفی متوالیہ $d_{n}$ اور $x_{n}$ کی صرف درجہ دوم کی احصاء کی ضرورت پڑی ہے۔

مزید دیکھیے

• لکیری اقل مربعات