کیلے ہمیلٹن مسئلہ اثباتی

• Cayley-Hamilton theorem

اگر $\ p(\lambda )$ مربع میٹرکس $\ A$ کا "ویژہ کثیر رقمی" ہے، تو $\ n\times n$ میٹرکس $\ A$ کی ویژہ قیمت $\ \lambda$ کے لیے، "ویژہ کثیر رقمی" کی تعریف کی رُو سے

$\ p(\lambda )=\det(A-\lambda I)=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

اس مسئلہ اثباتی کے مطابق مربع میٹرکس خود اپنے کثیر رقمی کی تسکین کرتی ہے:

$\ p(A)=0$

$a_{n}A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I_{n}=0$

مثال

$A=\left[{\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}}\right]$

$p(\lambda )=\det(A-\lambda I)=\left|{\begin{matrix}1-\lambda &3\\2&4-\lambda \end{matrix}}\right|=\lambda ^{2}-5\lambda -2$

$A^{2}=\left[{\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}1&3\\2&4\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}7&15\\10&22\end{matrix}}\right]$

$5A=\left[{\begin{matrix}5&15\\10&20\end{matrix}}\right]$

$2I_{2}=\left[{\begin{matrix}2&0\\0&2\end{matrix}}\right]$

$\ A^{2}-5A-2I_{2}=0$

اس مسئلہ اثباتی کی مدد سے میٹرکس شمارنگی میں آسانی پیدا کی جا سکتی ہے، مثلاً چونکہ $\ A^{2}=5A+2I_{2}$ اس لیے $\ A^{4}=A^{2}A^{2}=(5A+2I_{2})^{2}=25A^{2}+4I_{2}+10A=25(5A+2I_{2})+10A+4I_{2}=135A+54I_{2}$

مزید دیکھیے

• میٹرکس فنکشن

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات