ایکائی دائرہ

ریاضیات میں، ایکائی دائرہ ایسے دائرہ کو کہتے ہیں جس کا قطر ایکائی ہو۔ اکثر اوقات، خصوصاً مثلثیات میں، ایکائی دائرہ قطر 1 کا دائرہ ہوتا ہے، جو کارتیسی محدر نظام میں مبدا (0،0) پر مرکز ہوتا ہے۔ ایکائی دائرہ کو عموماً S¹ کی علامت سے لکھتے ہیں ؛ اونچی بُعد میں اسے ایکائی کرہ کہیں گے۔ اگر نقطہ (x, y) ایکائی دائرہ پر پہلے ربع میں ہو، تو x اور y قائم الزاویہ مثلث کی ٹانگیں ہیں جس کے وتر کی لمبائی 1 ہے۔ اس لیے فیثاغورث مسئلہ اثباتی کی رُو سے، x اور y اس مساوات کی تسکین کرتے ہیں :

ایکائی دائرہ کا تفسیرہ۔ متغیر t زاویہ ناپتا ہے۔

$x^{2}+y^{2}=1$

چونکہ x² = (−x)² تمام x کے لیے اور چونکہ ایکائی دائرہ پر کسی بھی تقطہ کا x- یا y-محدر کے گرد انعکاس بھی ایکائی دائرہ پر ہو گا، اس لیے اُوپر دی مساوات تمام نقاط کے لیے لاگو ہے، نہ صرف پہلے ربع میں۔

ریاضی میں امثولہ کی تعریف استعمال کرتے ہوئے ہم ایکائی دائرے تعریف کر سکتے ہیں، جیسا کہ ریمانی دائرہ۔

ایکائی دائرہ کے نقاط کی ہئیتیں

مختلط مستوی میں (دیکھو عائلری کلیہ)

• اَسّی : $z=\,\mathrm {e} ^{it}\,$
• مثلثیاتی : $z=\cos(t)+i\sin(t)\,$

ایکائی دائرہ پر مثلثاتی تفاعل

زاویہ θ کی تمام مثلثیاتی تفاعل کو ایکائی دائرہ جو O پر مرکز ہو، کی مدد سے ہندساتی طور پر تعمیر کیا جا سکتا ہے۔

مثلثاتی دالہ جیب التمام (cos) اور جیب (sin) کو ایکائی دائرہ پر یوں تعریف کیا جا سکتا ہے۔ اگر (x, y) یکائی دائرہ پر نقطہ ہو اور مبدا (0, 0) سے (x, y) تک شعاع، مثبت x-محدر سے زاویہ t بناتی ہے (جہاں زاویہ کے لیے گھڑی اُلٹ گھومنا مثبت ہے)، تو

$\cos(t)=x$

$\sin(t)=y$

مساوات x² + y² = 1 سے ہمیں رشتہ ملتا ہے

$\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1.\,\!$

غور کرو کہ cos²(t)=(cos(t))². یہ مثلثیاتی فنکشن کی طاقت کو لکھنے کا معیاری مختصر ہے۔ ایکائی دائرہ یہ احساس دلانے کے لیے کہ جیب التمام اور جیب معیادی دالہ ہیں کا ذہنی راہ فراہم کرتا ہے، ان شناختوں کے ساتھ

$\cos t=\cos(2\pi k+t)\!$

$\sin t=\sin(2\pi k+t)\!$

کسی بھی صحیح عدد k کے لیے۔ یہ شناختیں اس امر سے واضح ہوتی ہیں کہ کسی نقطہ کے x- اور y-محدر وہی رہتے ہیں اس کے زاویہ کو پورے چکر گھمانے کے بعد (کسی بھی سمت) اور (1 چکر = 2π radians = 360°)

قائم‌الزاویہ مثلث پر مثلثاتی فنکشن اسی وقت صحیح معلوم ہوتی ہیں جب زاویہ صفر سے زیادہ اور π/2 سے کم ہو۔ مگر۔ ایکائی دائرہ کے ساتھ، ان فنکشن کا ذہنی معنی کسی بھی حقیقی عدد کے لیے واضح ہوتا ہے۔

نہ صرف جیب التمام اور جیب، بلکہ ساری چھ مثلثاتی فنکشن — sine, cosine, tangent, cotangent, secant, and cosecant — اور قدماء — versine اور exsecant —؛ بھی ایکائی دائرہ کی مدد سے ہندساتی طوت پر تعریف کی جا سکتی ہیں جیسے تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

مزید دیکھیے

• 1 (عدد)