مثلثیات

مثلثیات ( یونانی trigōnon مثلث + metron ناپ)^[1] شاخ ہے ریاضیات کی جو مثلث، خاصاً قائم الزاویہ مثلث، کا مطالعہ کرتا ہے۔ مثلثیات معاملہ کرتی ہے مثلث کے اطراف اور زاویہ میں رشتہ کے اور مثلثیاتی دالہ سے جو یہ رشتہ بیان کرتے ہیں اور زاویہ‌ات کا جامع بیان بھی اور موجوں کی حرکت جیسا کہ آواز اور روشنی موجیں۔

مثلثیات عموماً ثانوی مدارس میں پڑھایا جاتا ہے، علاحدہ نصاب کے طور پر یا پیش حسابان نصاب میں۔ اس کے اطلاقیات خالص ریاضیات اور اطلاقی ریاضیات میں ہیں، جہاں یہ سائنس اور ٹیکنالوجی کی بہت سی شاخوں میں لازم ہے۔ مثلثیات کی ایک شاخ، جسے کُرّہای مثلثیات کہے ہیں، کُرّہ پر مثلث کا مطالعہ کرتی ہے، جو فلکیات اور جہازرانی میں اہم ہے۔

تاریخ

قدیم مصر اور بابُل میں زاویہ ناپ کا تصور مضبوط نہیں تھا، مگر انھوں نے مثلث کی اطراف کے تناسب کا مطالعہ کیا۔ یونانی ریاضیدانوں نے ہندسہ کے تناظر میں زاویہ کے وتر کے خاصوں کا مطالعہ کیا۔ قدیم چین میں بھی مثلثیات کا ابتدائی مطالعہ کیا گیا۔ دسویں صدی کے عرب ریاضیدانوں نے ان مثلثیاتی دالوں کو الجبرائی شکل دی اور چھ کے چھ مثلثیاتی فنکشن کا استعمال کیا، ان کی اقدار کے جدول تیار کیے اور انھیں کُرّائی مثلثیات میں اطلاق کیا۔ عرب اور فارس ماہر فلکیات، جیسا کہ جابر بن سنان البتانی اور الطوسی،^[2] کی کتب کے لاطینی ترجموں کے ذریعہ مثلثیات کا علم یورپ منتقل ہوا۔ پھر بھی سولیوں صدی تک یورپ میں مثلثیات کا علم محدود لوگوں کو معلوم تھا۔

جائزہ

اس قائم مثلث میں:: sin A = a/c ; cos A = b/c ; tan A = a/b

اگر کسی مثلث کا ایک زاویہ 90 درجے ہو اور دوسرا معلوم ہو، تو تیسرا مقرر ہو جاتا ہے، کیونکہ مثلث کے تینوں زاویوں کا حاصل جمع 180 درجے ہوتا ہے۔ دونوں حادہ زاویہ اس لیے جمع ہو کر 90 درجے بناتے ہیں؛ یہ تکمیلی زاویے ہیں۔ قائم مثلث کی صورت جبر ہو جاتی ہے اس کے دوسرے دونوں زاویوں سے، مشابہت کی حد تک۔ اس کا مطلب ہے کہ جیسے ہی دو میں سے ایک زاویہ معلوم ہو، مختلف اضلاع کا تناسب ایک ہی ہو گا چاہے مثلث کی مجموعی جسامت کچھ بھی ہو۔ یہ تناسب معلوم زاویہ A کی درج ذیل مثلثیاتی دالہ سے دی جاتی ہے، جہاں a، b اور c سے مراد ساتھ دی شکل میں تین اضلاع کی لمبائیاں ہیں:

اصطلاح	term
ضلع مقابل ملمس وتر قائم الزاویہ جیب جیب التمام مماسی قاطع قاطع التمام	side opposite adjacent hypotenuse right-angled sine cosine tangent secant cosecant

جیب sine فنکشن (sin)، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے مقابل ٹانگ کا وتر سے تناسب

\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{\,c\,}}\,

جیب التمام cosine فنکشن (cos)، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے ملمس ٹانگ کا وتر سے تناسب

\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{\,c\,}}\,

مماسی tangent فنکشن (tan)، تعریف ہوتی ہے زاویہ کے مقابل ٹانگ کا مماس ٹانگ سے تناسب

\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,

قائم مثلث میں وتر وہ ضلع ہے جو 90 درجہ زاویہ کے مقابل ہوتا ہے؛ مثلث کا سب سے لمبا ضلع ہوتا ہے اور زاویہ A کے ملمس دو اضلاع میں سے ایک۔ ملمس ٹانگ دوسرا ضلع ہے جو زاویہ A کے ملمس ہے۔ مقابل ضلع وہ ہے جو زاویہ A کے مقابل ہے۔ اصطلاحات قائم اور اساس بالترتیب کبھی مقابل اور ملمس اضلاع کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔

ان فنکشن کے ریاضیاتی اُلٹ کو بالترتیب قاطع التمامcosecant یا (cosec) یا (csc) ,قاطع secant یا (sec) اور مماسی التمام cotangent یا (cot) کہتے ہیں۔ ان فنکشن کی مقلوب دالہ کو بالترتیب آرک جیب arcsine، آرک جیب التمام arccosine اور آرک مماسی arctangent، کہتے ہیں۔ ان فنکشن‌ات کے درمیان حسابی رشتوں کو مثلثیاتی شناختیں کہتے ہیں۔

ان فنکشن‌ات کی مدد سے جیب قانون اور جیب التمام قانون استعمال کرتے ہوئے ہم تعسُّفی مثلث بارے مجازی تمام سوالوں کا جواب دے سکتے ہیں۔ ان قوانین کی مدد سے ہم مثلث کی باقی ماندہ زاویوں اور اضلاع کمپیوٹر کر سکتے ہیں جیسے ہی دو اضلاع اور ایک زاویہ معلوم ہو یا دو زاویے اور ایک ضلع معلوم ہو یا تینوں اضلاع معلوم ہوں۔ یہ قوانین ہندسہ کی تمام شاخوں میں مفید ہیں، چونکہ کسی بھی کثیر الاضلاع کو مثلثات کا متناہی تولیف بیان کیا جا سکتا ہے۔