"سمتیہ مکاں" کے نسخوں کے درمیان فرق

{{اصطلاح برابر|سمتیہ فضامکان <br/> لکیری فضامکان|Vector Space <br/> Linear Space}}

ایسے عناصر کا مجموعہ جہاں جمع/تفریق کے عمل ممکن ہوں اور عناصر کو چھوٹا بڑا کیا جا سکتا ہو، '''سمتیہ فضامکان''' کہلاتا ہے۔ اب ہم مکمل تعریف دیتے ہیں۔ اگر کسی مجموعہ ''V'' کے عناصر ''X''، ''Y''، ''Z''، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد پر پورے اتریں، تو ایسے مجموعہ کو ''سمتیہ فضامکان'' کہیں گے اور عناصر کو ''سمتیہ'':

انگریزی میں سمتیہ کو vector اور سمتیہ فضامکان کو vector spaceکہتے ہیں۔

لکھا جا سکتا ہے۔ اب چونکہ یہ سمتیہ ایک میٹرکس ہیں، اس لیے [[میٹرکس]] حساب کے قائدے استعمال کرتے ہوئے سمتیہ فضامکان کی تمام لوازمات پوری ہوتی ہیں۔ اس لیے <math> \mathbb{R}^2 </math> کے نکتے ایک سمتیہ فضامکان بناتے ہیں۔ <math> \mathbb{R}^2 </math> میں سمتیہ کی قطبی صورت کے لیے [[مختلط عدد|دیکھو]]۔ سمتیہ

غور کرو کہ سمتیہ ''R'' کی سمت نکتہ ''(x=a, y=b)'' سے نکتہ ''(x=c, y=d)'' سیدھی لکیر کی طرف ہے اور سمتیہ کی لمبائی (مطلق قیمت) ان نکات کے درمیان میں سیدھی لکیر میں فاصلہ ہے۔ اس لیے اس سمتیہ کو ان نکات کے درمیان میں [[ہٹاؤ]] کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھو کہ سمتیہ ''R'' چونکہ دو نکتوں کے درمیاں ہے، اس لیے اگر ابتدا کو کسی اور نکتہ پر لے جایا جائے، تو اس کا اس سمتیہ ''R'' پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس لیے اکثر کہا جاتا ہے کہ سمتیہ ایسی شے ہے جو ایک ''مطلق قیمت'' (magnitude) اور فضامکان میں ایک ''رُخ'' (direction) سے تعریف ہو جاتا ہے۔

بعینہ <math> \mathbb{R}^n </math> فضامکان میں نکتوں کو بطور <math>\ n \times 1</math> [[میٹرکس]] لکھا جا سکتا ہے اور یہ نکتے ایک سمتیہ فضامکان بناتے ہیں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات کو بجائے <math>\ n \times 1</math> میٹرکس کے ایک <math>\ 1 \times n</math> میٹرکس کے بطور بھی لکھا جاتا ہے۔) ایک سمتیہ کو یوں لکھا جائے گا:

مثال کے طور پر تین رُخی مستطیل فضامکان میں کسی جسم کا مقام تین پیمائیشوں ''z''، ''y'' ،''x''، سے دیا جا سکتا ہے اور اس طرح اس جسم کی [[سمتار]] بھی تین اعداد سے دی جا سکتی ہے۔ اس طرح وقت ''k'' پر جسم کے مقام اور سمتار پر مبنی 6رُخی سمتیہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

ایسے سمتیہ کا مجموعہ، جن کے [[لکیری تولیف]] سے فضامکان کا کوئی بھی سمتیہ بن جاتا ہو، اس فضاءمکان کے لیے ''مدیدی سمتیہ'' (spanning vectors) کا مجموعہ کہلاتا ہے۔

(شکل 4 میں سرخ نکتے) <math>\mathbb{R}^2</math> کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ <math>\mathbb{R}^2</math> فضاءمکان کا کوئی بھی نکتہ ان دو سمتیوں کے لکیری تولیف کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نکتہ''(x,y)'' یوں لکھ سکتے ہیں:

جیسا کہ اوپر بیان ہوا کہ ایسے سمتیہ کا مجموعہ <math>v_0, v_1, \cdots, v_{n-1}</math> جن کے لکیری تولیف (linear combination) سے سمتیہ فضاءمکان کا کوئی بھی سمتیہ <math>v</math> یوں لکھا جا سکے: <br/>

مدیدی سمتیہ کا ایسا مجموعہ جس کے حوالہ سے فضاءمکان کے کسی بھی سمتیہ کی صرف ایک واحد صورت ممکن ہو، ایسے مجموعہ کو سمتیہ فضاءمکان کا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہتے ہیں۔

فرض کرو کہ سمتیہ فضامکان ''V'' کے بنیاد سمتیہ کا ایک مجموعہ <math>v_0, v_1, ..., v_{n-1}</math> ہے (ان بنیاد سمتیہ کی تعداد ''n'' ہے)۔ اب ''V'' کے کسی بھی سمتیہ ''v'' کو ان بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:

== سمتیہ ذیلی فضامکان ==

''تفصیلی مضمون'': [[لکیری ذیلی فضامکان]]

سمتیہ فضامکان کے مجموعہ کا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود بھی ایک سمتیہ فضامکان ہو، کو ''سمتیہ ذیلی فضامکان'' کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے vector subspace کہتے ہیں۔ کوئی بھی ذیلی مجموعہ [[سمتیہ فضامکان#قواعد|سمتیہ فضامکان کے قواعد]] 2 سے 5 پورے کرے گا۔ یہ جاننے کے لیے ذیلی مجموعہ ایک سمتیہ فضامکان ہے یا نہٰیں، ہمیں صرف اسے قواعد 1 کے لیے پرکھنا ہوتا ہے۔

مثال: اگر <math>\ m \le n</math>، تو سمتیہ فضامکان <math>\mathbb{R}^n</math> کی سمتیہ ذیلی فضامکان <math>\mathbb{R}^m</math> ہو گی۔

مثال: تصویر میں معکب فضامکان <math>\mathbb{R}^3</math> کی ایک سمتیہ ذیلی فضامکان نیلے پلین سے دکھایا گئی ہے۔ <math>\mathbb{R}^3</math> میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں ''X''، ''Y''، ''Z''، کی اطراف پیمائیش، ابتدا سے ) سے یوں دیا جاتا ہے،

، جبکہ سمتیہ ذیلی فضامکان (نیلا پلین) پر سمتیہ یوں ہے

غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی ہے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) کے لحاظ سے پھر بھی اس کا کوئی نکتہ ڈھونڈنے کے لیے تین عدد چاہیے ہیں۔ اگر ہم ان قدرتی بنیاد سمتیہ کو ایسے گھمائیں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین کے متوازی ہو جائیں، تو ان نئے بنیاد سمتیہ کی رو سے نیلے پلین کا کوئی بھی نکتہ لکھتے ہوئے تیسرا عدد صفر ہو گا۔ اس تناظر میں [[لکیری استحالہ#میٹرکس ضرب صورت|لکیری استحالہ]] میں مثال 1 بھی دیکھو، جس کی رو سے نیلے پلین کے کسی نکتہ کو لکھنے کے لیے دو عدد کافی ہو سکتے ہیں۔ گویا نیلا پلین <math>\mathbb{R}^3</math> کی سمتیہ ذیلی فضامکان ہے جس کا [[بُعد (سمتیہ فضامکان)|بُعد (ڈائیمینشن)]] 2 ہے۔