|
[[فائل:Graph of example function.svg|thumbnail|250px|مثال دالہتفاعل کا گراف<br/> <math>\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>]]
{{اصطلاح برابر|
دالہتفاعل <br/> استدلال <br/> تفویض <br/> تابع <br/> ناتابع <br/> ساحہ <br/> حیطہ|
function <br/>argument <br/> assign <br/> dependent <br/> independent <br/> domain <br/> range
}}
[[فائل:F of x.svg|100px|بائیں|thumbnail|دالہتفاعل کی مشہور زمانہ دستخطی علامت]]
ریاضیات میں '''فنکشنتفاعل''' یہ تصور ہے کہ ایک قدر (فنکشنتفاعل کا استدلال یا ادخال) سے دوسری قدر (فنکشنتفاعل کا اخراج یا قدر) مکمل طور پر معلوم ہو جاتی ہے۔ فنکشنتفاعل ہر ادخال کو صرف ایک اخراج قدر تفویض کرتی ہے۔ استدلال اور فنکشنتفاعل کی قدر حقیقی عدد ہو سکتے ہیں یا کسی مجموعہ کے ارکان۔ حقیقی عدد کی صورت میں اکثر اوقات فنکشنتفاعل کا کلیہ لکھا جا سکتا ہے اور اس کے گراف کی [[کارتیسی متناسق نظام|کارتیسی متناسق]] میں خاکہ کشی کی جا سکتی ہے۔ تصویر میں فنکشنتفاعل ''f'' کا کلیہ
<math> y = f(x) = x^2 </math>
<table>
<tr><td>[[فائل:Parabola a1.svg|100px]]
</table>
ہے، جہاں ''x'' افقی محور پر ہے اور ''y'' عمودی محور پر۔ اس فنکشنتفاعل کے لیے استدلال ''x'' کوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتا ہے۔ تصویر سے ظاہر ہے کہ اس فنکشنتفاعل کا اخراج ''y'' غیر منفی حقیقی عدد ہوتا ہے۔
== ریاضیاتی تعریف ==
</table>
رسمی تعریف: ریاضیات میں '''فنکشنتفاعل''' ''f'' ایک قاعدہ ہے جو [[set (mathematics|مجموعہ]] ''X'' کے ہر رکن ''x'' کو مجموعہ ''Y'' کا صرف ایک رکن <code dir="ltr">f(x)</code> تفویض کرتا ہے۔
تصویر سے ظاہر ہے کہ ''X'' کے ایک سے زیادہ ارکان کو ''Y'' کا ایک ہی رکن تفویض کیا جا سکتا ہے (مگر ''X'' کے ایک رکن کو ''Y'' کے دو ارکان تفویض کرنے کی اجازت نہیں)۔
مجموعہ ''X'' کو فنکشنتفاعل کا [[domain|ساحہ]] کہا جاتا ہے۔ مجموعہ ''Y'' کے رکن <code dir="ltr">f(x)</code> کو فنکشنتفاعل ''f'' کی ''x'' پر قدر بولتے ہیں۔ رکن ''x'' کو فنکشنتفاعل ''f'' کا استدلال کہا جاتا ہے۔ ساحہ پر ''x'' کی تمام اقدار پر فنکشنتفاعل ''f'' سے ملنے والی مجموعہ ''Y'' پر تمام اقدار <code dir="ltr">f(x)</code> کو فنکشنتفاعل کا [[Range|حیطہ]] کہتے ہیں۔ واضح رہے کہ عام طور پر فنکشنتفاعل کا حیطہ، مجموعہ ''Y'' کا ذیلی مجموعہ ہو گا۔
علامتی طور پر لکھتے ہیں
<div align=right>
: <math>f\colon X \to Y </math>
</div>
یعنی ''f'' فنکشنتفاعل ''X'' کو ''Y'' میں لے جاتا ہے اور
<div align=right>
: <math> x \mapsto f(x) </math>
== جائزہ ==
فنکشنتفاعل کا علم میں کثرت استعمال کی وجہ سے کچھ رواج راہ پا گئے ہیں۔ فنکشنتفاعل کے ادخال کی علامت کو اکثر"ناتابع متغیر" یا استدلال کہتے ہیں اور حرف ''x'' کی علامت سے لکھتے ہیں یا اگر وقت کا فنکشنتفاعل ہو، تو حرف ''t'' کی علامت۔ اخراج کی علامت کو "تابع متغیر" یا "دالہتفاعل کی قدر" کہتے ہیں اور اکثر حرف ''y'' کی علامت سے لکھتے ہیں۔ فنکشنتفاعل خود کو عموماً ''f'' کہتے ہیں اور اس طرح علامت <code dir="ltr">''y=f(x)''</code> سے مراد ہے کہ فنکشنتفاعل ''f'' کی ادخال کا نام ''x'' ہے اور اخراج ''y'' نامی ہے۔
[[فائل:function_machine_box.png|300px|left]]
فنکشنتفاعل کو آلہ کے طور پر دیکھنا مفید رہتا ہے۔ آلہ میں ''x'' داخل ہو، تو آلہ اسے بطور ادخال منظور کرے گا اور فنکشنتفاعل ''f'' کے قاعدہ کے مطابق <code dir="ltr">f(x)</code> پیدا کرے گا، جو آلہ میں سے اخراج ہو گا۔ اس لیے ہم تخیل کر سکتے ہیں کہ ساحہ تمام ممکنہ ادخال ہیں اور حیطہ تمام ممکنہ اخراج۔
عام زندگی میں بیشتر اوقات فنکشنتفاعل کا ساحہ اور حیطہ اعداد کا ذیلی مجموعہ ہوتے ہیں اور اکثر [[حقیقی عدد|حقیقی اعداد]]۔ اس صورت میں فنکشنتفاعل کا [[دالہتفاعل کا منحنی|گراف]] بنا کر تصور کرنا آسان رہتا ہے۔
== دالہاتتفاعلات کی ترکیب ==
[[فائل:function_composition_io.png|300px|left]]
{{اصطلاح برابر|
}}
دو فنکشناتتفاعلات کی ترکیب سے نئی فنکشنتفاعل وجود میں آ سکتی ہے جسے '''ترکیب فنکشنتفاعل''' کہیں گے۔
دو فنکشنتفاعل ''f'' اور ''g'' ہوں، ہم ''f'' کے ساحہ میں جُز ''x'' سے ''f'' کے حیطہ میں جُز <code dir="ltr">''y=f(x)''</code> تک پہنچتے ہیں۔ اب اگر جُز ''y'' فنکشنتفاعل ''g'' کے ساحہ میں ہو تو ہم اس پر فنکشنتفاعل ''g'' کے استعمال سے فنکشنتفاعل ''g'' کے حیطہ میں جُز <code dir="ltr">''z=g(y)''</code> تک پہنچتے ہیں۔ نتیجہ نئی فنکشنتفاعل <code dir="ltr">h(x)=g(f(x))</code> ہے، جو فنکشنتفاعل ''f'' کو فنکشنتفاعل ''g'' میں ڈالنے سے بنی ہے۔ اسے ''f'' اور ''g'' کی ترکیب کہتے ہیں اور <math>g\circ f </math> لکھتے ہیں۔ فنکشنتفاعل ''f'' کے ساحہ کو ''X''، فنکشنتفاعل ''f'' کے حیط اور فنکشنتفاعل ''g'' کے ساحہ کو ''Y'' اور فنکشنتفاعل ''g'' کے حیطہ کو ''Z''، کہتے ہوئے ہم علامتی طور پر یوں لکھ سکتے ہیں:
: <math>\begin{align}
f\colon X &\to Y \\
x &\mapsto g(f(x)).
\end{align}</math>
خیال رہے کہ ترکیبِ فنکشنتفاعل <math>g\circ f </math> میں ترتیب اہم ہے، پہلے فنکشنتفاعل ''f'' استعمال ہوئی اور اس کے اخراج پر فنکشنتفاعل ''g'' استعمال کی گئی۔ میکانیکی طور پر ترکیب کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ فنکشنتفاعل <math>g\circ f </math> کا ساحہ وہ تمام <math>x\in X</math> ہیں جن کے لیے <code dir="ltr">y=f(x)</code> فنکشنتفاعل ''g'' کے ساحہ میں ہیں۔ خیال رہے کہ عام طور پر <math>g\circ f \ne f \circ g</math>
== مقلوب دالہتفاعل ==
تعریف: کسی فنکشنتفاعل کو ''واحد الواحد دالہتفاعل'' کہا جائے گا اگر یہ کوئی قدر دو بار اختیار نہ کرے، یعنی
:<math>\ f(x_1) \ne f(x_2)</math> جب بھی<math> x_1 \ne x_2</math>
اگر فنکشنتفاعل کا ساحہ اور حیطہ [[real number line|حقیقی عدد]] ہوں، تو واحد الواحد فنکشنتفاعل [[افقی لکیر اختبار]] پر پورا اترے گی۔
اگر ''f'' واحد الواحد فنکشنتفاعل ہے جس کا ساحہ ''X'' اور حیطہ ''Y'' ہے، تو اس کی '''مقلوب فنکشنتفاعل''' <math>f^{-1}</math> کا ساحہ ''Y'' اور حیطہ ''X'' ہو گا اور درج ذیل خاصے سے تعریف ہو گی
:<math>f^{-1}(y) = x \iff f(x)=y</math>
کسی بھی <math>y\in Y</math> کے لیے۔ (یاد رہے کہ <math>f^{-1}</math> سے مراد <math>\frac{1}{f}</math> ہرگز نہیں۔ <math>\frac{1}{f(x)}</math> کے لیے <math>\ [f(x)]^{-1}</math> کی علامت استعمال ہوتی ہے۔)
== شناخت دالہتفاعل ==
ایسی فنکشنتفاعل جو مجموعہ ''X'' کے رکن ''x'' کو ''x'' ہی تفویض کرے کو '''شناخت فنکشنتفاعل''' کہتے ہیں اور عموماً <math>I_X</math> لکھتے ہیں:
:<math>I_X(x)=x</math>
واحد الواحد فنکشنتفاعل ''f'' جس کا ساحہ ''X'' ہو، کے لیے
:<math> (f \circ f^{-1})(x) =f(f^{-1}(x)) =(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = I_X(x) = x </math>
== دالہتفاعل کا استحالہ ==
اگر فنکشنتفاعل کا ساحہ اور حیطہ دونوں حقیقی اعداد ہوں، یعنی <math>y=f(x), \, x\in \mathbb{R},\, y \in \mathbb{R}</math>، تو پھر فنکشنتفاعل کا گراف بنایا جا سکتا ہے اور اس کی استحالہ خصوصیت پڑھی جا سکتی ہیں۔ ذیل میں ''c'' حقیقی عدد ہے:
[[فائل:function_horizontal_shift.svg|left]]
[[فائل:function_compress_stretch.svg|left]]
=== افقی سرکنا ===
* اگر <code dir="ltr"> c>0</code> ہو، تو فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x-c)</code>، فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x)</code> کی دائیں سرکی صورت ہے۔
* اگر <code dir="ltr"> c>0</code> ہو، تو فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x+c)</code>، فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x)</code> کی بائیں سرکی صورت ہے۔
[[فائل:function_reflection_vertical_axis.svg]]
=== منعکس ===
* فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x)</code> کو عمودی دھرا کے حوالہ سے منعکس کرنے سے فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(-x)</code> بنتا ہے۔
=== کھینچنا اور دابنا ===
* اگر <code dir="ltr"> c>1</code> ہو، تو فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(cx)</code>، فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x)</code> کی اُفقی دابی صورت ہے۔
* اگر <code dir="ltr"> c>1</code> ہو، تو فنکشنتفاعل <math>f\left(\frac{x}{c}\right)</math>، فنکشنتفاعل <code dir="ltr"> f(x)</code> کی اُفقی کھینچی صورت ہے۔
{{ریاضی مدد}}
| 