خود مشابہ مجموعہ (مستوی میں)

اصطلاح	term
طاقم احاطہ یحیط بند کھلا مطابقت گھماؤ ترجمہ تراکب ناتراکب سکڑاو پھیلاؤ خود مشابہ اتحاد مستوی	set boundary bounded closed open congruence rotate translate overlapping non-overlapping contraction expansion self-similar union plane

خود مشابہ مجموعہ کی تعریف کرنے سے پہلے ہمیں کچھ ابتدائی تعاریف کی ضرورت ہے۔

ابتدائی تعاریف

ذیل میں ہم اقلیدسی فضاء $\mathbb {R} ^{2}$ کے حوالے سے کچھ تعریف سمجھاتے ہیں۔ (یاد رہے کہ یہ تعاریف اس فضا کے حوالے کے بغیر بھی کی جا سکتی ہیں۔)

تحیط طاقم

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں کسی طاقم کو تحیط کہا جاتا ہے اگر اس کے گرد ایک ایسا دائرہ لگانا ممکن ہو، جس میں یہ طاقم سما جائے (تصویر 1)۔ اگر ایسا ممکن نہ ہو تو طاقم "لاتحیط" کہلائے گا۔

فائل:Congruent sets.png

تصویر 2

بند طاقم

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر طاقم کا احاطہ بھی طاقم میں شامل ہو تو اسے بند طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

کھلا طاقم

اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں اگر طاقم کا احاطہ کو طاقم کا حصہ نہ سمجھا جائے، تو اسے کھلا طاقم کہا جاتا ہے۔ تصویر 2 میں طاقم (مجموعوں) کا احاطہ کالی لکیر میں دکھایا گیا ہے۔

طاقموں میں مطابقت

اگر ایک طاقم کو گھماء اور ترجمہ کر کے دوسرے طاقم میں بدلا جا سکتا ہو، تو ان دونوں طاقم جات کو بمطابق کہیں گے۔ تصویر 2 میں ایسے تین طاقم جات دکھائے گئے ہیں جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔

فائل:Overlap sets.png تصویر 3

فائل:Not overlap sets.png تصویر 4

تراکب طاقموں

اگر دو طاقم جات کا کچھ حصہ سانجھا ہو تو ان کو تراکب کہا جاتا ہے، ورنہ ناتراکب۔ مثال تصویر 3 میں تراکب مجموعات دکھائے ہیں اور تصویر 4 میں ناتراکب مجموعات۔

تصویر 5

فائل:Set contraction image2.png	$T\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}s&0\\0&s\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$	فائل:Set contraction image1.png
	$\longrightarrow$

سکیڑ اور پھیلاؤ

اگر $\ T:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ایسا لکیری استحالہ ہو، جو طاقم کو چھوٹا یا بڑا کرتا ہو۔ اگر $\ 0<s<1$ تو اس کو سکیڑنا کہیں گے (تصویر 5) اور اگر $\ s>1$ تو اسے پھیلانا کہیں گے۔ تصویر 5 میں نیلے طاقم کو سکیڑ کر سرخ طاقم بنتا دکھایا گیا ہے۔

فائل:Decompose self similar.png

تصویر 6

خود مشابہ طاقم

ایک بند اور تحیط طاقم (جو $\mathbb {R} ^{2}$ کا ذیلی طاقم ہو) کو خود مشابہ کہا جائے گا، اگر اس طاقم S کو یوں لکھا جا سکے

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup \cdots \cup S_{n}$

جہاں $S_{1},S_{2},\cdots ,S_{n}$ ناتراکب مجموعات ہیں اور ان میں سے ہر ایک بمطابق ہے S کی سکڑی ہوئی صورت کے (جہاں سکڑنے کا عدد $\ 0<s<1$ ہے)۔ یہاں علامت $\cup$ اتحاد کے لیے استعمال ہوئی ہے۔

تصویر 6 میں طاقم S کو چار مجموعات $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ کے اتحاد کے بطور دکھایا گیا ہے۔ یہاں سکڑنے کا عدد $s={\frac {1}{2}}$ ہے۔ ان ذیلی مجموعات کو سے ان مماثلتیہ کے ذریعہ حاصل کیا جا سکتا ہے:

$S_{1}=T_{1}(S),\,S_{2}=T_{2}(S),\,S_{3}=T_{3}(S),\,S_{4}=T_{4}(S)$

جہاں مماثلتیہ یہ ہیں

$T_{1}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}$

$T_{2}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$T_{3}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

$T_{4}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

اصطلاح	term
اتحاد غیر خالی منفرد ایکی مربع خود مشابہ	union non-empty unique unit square self-similar

فائل:Three similitudes self similar.png

تصویر 7

فائل:Three similitudes self similar step2.png

تصویر 8

تصویر 9. سیرپنسکی (Sierpinski) تکون

فائل:Sierpinski split to show similarity.png

تصویر 10

مثال

اگر نیچے دی تین مماثلتیہ ایکی مربع پر استعمال کی جائیں،

$T_{1}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$

$T_{2}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}$

$T_{3}\left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

تو تین ناتراکب مربع $\ T_{1}(U),T_{2}(U),T_{3}(U)$ بنتے ہیں (تصویر 7)۔ اب ان تین مربع پر (علاحدہ علاحدہ) یہ تین مماثلتیہ استعمال کیے جائیں، تو تصویر 8 حاصل ہو گی۔ اسی طرح یہ عمل جاری رکھا جائے تو تصویر 9 حاصل ہوتی ہے، جو مشہور سیرپنسکی تکون ہے۔ (تصویر 9 میں سیرپنسکی تکون سفید رنگ میں دکھائ ہے۔)

غور کرو کہ تصویر 7 میں مربع U اقلیدسی فضا $\mathbb {R} ^{2}$ (مستوی) میں ہے، اس لیے اس کا بُعد 2 ہے۔ اس مربع کا رقبہ 1 ہے۔ مماثلتیہ کے استعمال کے بعد جو تین مربع کا خاکہ بنتا ہے (نیلے) اس کا کل رقبہ ${\frac {3}{4}}$ ہے۔ ہر نیلے مربع پر مماثلتیہ کے استعمال سے تصویر 8 ملتی ہے اور اب ہمارے خاکہ کا رقبہ $\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}$ ہے۔ مماثلتیہ کے n بار استعمال کے بعد بننے والے خاکہ کا رقبہ $\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}$ ہو گا اور

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3}{4}}\right)^{n}=0$

یعنی تصویر 9 میں خاکہ (سیرپنسکی تکون، سفید رنگ میں) کا رقبہ صفر (0) ہو گا۔ یاد رہے کہ ایک لکیر، جس کا بُعد 1 ہوتا ہے، کا رقبہ صفر ہوتا ہے۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ سیرپنسکی تکون کا بُعد 1 ہے۔ اگرچہ سیرپنسکی تکون $\mathbb {R} ^{2}$ میں نظر آتی ہے، مگر اس میں سوراخ اتنے ہیں کہ یہ ایک لکیر کی ماند ہے (جس کا بُعد 1 ہوتا ہے)۔ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے۔

یہ تصویر بنانے کا سائیلیب سکرپت یہاں ہے۔

یہاں یہ واضح کر دیں کہ تصویر 9 ایک حد تک تفصیل میں دکھائی جا سکتی ہے۔ بہت چھوٹی تفصیل واضح ہونا تصویر میں ممکن نہیں۔

یہ واضح کرنے کے لیے کہ شیرپنسکی تکون، "خود مشابہ طاقم" کی تعریف پر پورا اترتی ہے، ہم نے تصویر 10 مین جان بوجھ کر اسے تین حصوں $S_{1},S_{2},S_{3}$ میں بانٹ کر دکھایا ہے، اس طرح کہ ہر حصہ بڑے سیرپنسکی تکون S (تصویر 9) پر ایک مماثلتیہ $T_{1},T_{2},T_{3}$ کے عمل سے بنا ہے اور

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}$

یاد رہے کہ ان تین حصوں $S_{1},S_{2},S_{3}$ میں سے ہر حصہ بھی "خود مشابہ" ہے اور یہ بات ان حصوں کے اس طرح مزید حصے کرنے پر بھی برحق ہے (کیونکہ سیرپنسکی تکون ایک فریکٹل ہے)۔

مسلئہ اثباتی

اگر $T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}$ سکڑنے والی مماثلتیہ ہوں، جن کا سکڑنے کا عدد برابر ہو، تو پھر ایک منفرد، غیر خالی، بند اور محیط طاقم S ہو گا، جبکہ

$S=T_{1}(S)\cup T_{2}(S)\cup \cdots \cup T_{n}(S)$

اور اگر مجموعات $\ T_{1}(S),T_{2}(S),\cdots ,T_{n}(S)$ ناتراکب ہوں، تو طاقم S خود مشابہ ہو گا۔

خود مشابہ طاقم بنانے کا الخوارزم

یہ مسلئہ اثباتی اس طاقم کو نکالنے کا کوئی طریقہ نہیں بتاتا۔ اگر مسلئہ اثباتی کی عبارت کے مطابق $T_{1},T_{2},\cdots ,T_{n}$ مماثلتیہ ہوں اور ایک "خود مشابہ طاقم" S کو جنم دیتے ہوں، تو یہ طاقم نکالنے کے لیے ایک تصادفی الخوارزم نیچے دیا ہے:

1. پلین میں ایک نکتہ $\ (x,y)$ چنو
2. ایک تصادفی تجربہ سے تصادفی متغیر جنم دو، جس کی قدر 1 سے n تک ہو۔ فرض کرو کہ قدر j آتی ہے۔
3. اب مماثلتیہ $T_{j}$ چنو اور نکتہ $\ (x,y)$ کو اس میں سے گزار کر نیا نکتہ حاصل کرو۔ اس نئے نکتہ کو پلاٹ کر دو۔ (یہ نکتہ طاقم S کا حصہ ہے۔)
4. اس نئے نکتہ $\ (x,y)$ کو لے کر، سیڑھی 2 پر جا کر یہ طریقہ دہراتے رہو (جبتک تصویر نکھر آئے۔)

تصویر 9 بنانے کے لیے یہ الخوارزم استعمال کیا گیا ہے۔

مزید دیکھیے

• میٹرکس

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات