اصطلاح
term
آزاد واقعات
independent events
اگر کسی واقعہ A کا احتمال ، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات A اور B کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ A کے احتمال کے :
Pr
(
A
|
B
)
=
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(A|B)=\Pr(A)}
واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے
Pr
(
B
|
A
)
=
Pr
(
B
∩
A
)
Pr
(
A
)
=
Pr
(
A
|
B
)
Pr
(
B
)
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(B|A)={\frac {\Pr(B\cap A)}{\Pr(A)}}={\frac {\Pr(A|B)\Pr(B)}{\Pr(A)}}}
ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:
Pr
(
B
|
A
)
=
Pr
(
B
)
{\displaystyle \Pr(B|A)=\Pr(B)}
واقعات A اور B آزاد ہوں گے، اگر بشرطِ اگر
Pr
(
A
∩
B
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
B
)
{\displaystyle \ \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B)}
اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا
S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
×
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \ S=\{1,2,3,4,5,6\}\times \{1,2,3,4,5,6\}}
ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے اور دوسرا پھینک 4 ہے " کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے " اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے " کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:
Pr
(
first throw is 3, second throw is 4
)
=
Pr
(
first throw is 3
)
×
Pr
(
second throw is 4
)
=
1
6
×
1
6
=
1
36
{\displaystyle {\begin{matrix}\Pr({\hbox{first throw is 3, second throw is 4}})=\\\Pr({\hbox{first throw is 3}})\times \Pr({\hbox{second throw is 4}})\\={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}\end{matrix}}}
اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے اور واقعہ A ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،
A
=
{
1
,
3
,
5
}
,
Pr
(
A
)
=
3
6
=
1
2
{\displaystyle A=\{1,3,5\},\,\Pr(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}
اور واقعہ B یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،
B
=
{
1
,
2
,
4
,
5
}
,
Pr
(
B
)
=
4
6
=
2
3
{\displaystyle B=\{1,2,4,5\},\,\Pr(B)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}
اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ B رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ A کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ B رونما ہو چکا" یہ ہو گا
Pr
(
A
|
B
)
=
2
4
=
1
2
=
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(A|B)={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}=\Pr(A)}
اس سے ثابت ہوا کہ واقعات A اور B آزاد ہیں۔
ترمیم
باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔
ترمیم
تعریف: واقعات
A
1
,
A
2
,
⋯
A
n
{\displaystyle \ A_{1},A_{2},\cdots A_{n}}
m
=
2
,
3
,
⋯
,
n
{\displaystyle \ m=2,3,\cdots ,n}
{
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \ \{1,2,3,\cdots ,n\}}
i
1
,
i
2
,
i
3
,
⋯
,
i
m
{\displaystyle \ i_{1},i_{2},i_{3},\cdots ,i_{m}}
Pr
(
A
i
1
∩
A
i
2
∩
⋯
∩
A
i
m
)
=
Pr
(
A
i
1
)
Pr
(
A
i
2
)
⋯
Pr
(
A
i
m
)
{\displaystyle \ \Pr \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \cdots \cap A_{i_{m}}\right)=\Pr(A_{i_{1}})\Pr(A_{i_{2}})\cdots \Pr(A_{i_{m}})}
دوسرے الفاظ میں
A
1
,
A
2
,
⋯
A
n
{\displaystyle \ A_{1},A_{2},\cdots A_{n}}
تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،
Pr
(
A
i
∩
A
j
)
=
Pr
(
A
i
)
Pr
(
A
j
)
{\displaystyle \ \Pr(A_{i}\cap A_{j})=\Pr(A_{i})\Pr(A_{j})}
سے n واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔
تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ
Pr
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
=
Pr
(
X
≤
x
)
Pr
(
Y
≤
y
)
{\displaystyle \Pr(X\leq x,Y\leq y)=\Pr(X\leq x)\Pr(Y\leq y)}
کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں احتمال
Pr
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
{\displaystyle \Pr(X\leq x,Y\leq y)}
{
X
≤
x
}
{\displaystyle \{X\leq x\}}
{
Y
≤
y
}
{\displaystyle \{Y\leq y\}}
A
=
{
X
≤
x
}
,
B
=
{
Y
≤
y
}
{\displaystyle A=\{X\leq x\}\,\,,\,B=\{Y\leq y\}}
کی آزادی سے معلوم ہو گا کہ
Pr
(
X
∈
A
,
Y
∈
B
)
=
Pr
(
X
∈
A
)
Pr
(
Y
∈
B
)
{\displaystyle \Pr(X\in A,Y\in B)=\Pr(X\in A)\Pr(Y\in B)}
جو بعینہ اوپر دی تصادفی متغیر کی آزادی کی تعریف ہے۔
متفرد تصادفی متغیر X اور Y کو آزاد کہیں گے اگر
Pr
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
=
Pr
(
X
=
x
)
Pr
(
Y
=
y
)
{\displaystyle \Pr(X=x,Y=y)=\Pr(X=x)\Pr(Y=y)}
کسی بھی اعداد x اور y کے لیے۔ یہاں واقعہ
{
X
=
x
,
Y
=
y
}
{\displaystyle \{X=x,Y=y\}}
A
=
{
X
=
x
}
{\displaystyle \ A=\{X=x\}}
B
=
{
Y
=
y
}
{\displaystyle \ B=\{Y=y\}}
کا تقاطع ہے، یعنی
{
X
=
x
,
Y
=
y
}
=
A
∩
B
{\displaystyle \ \{X=x,Y=y\}=A\cap B}
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی دالہ سے بننے والے تصادفی متغیر
Z
=
f
(
X
)
{\displaystyle \ Z=f(X)}
W
=
g
(
X
)
{\displaystyle \ W=g(X)}
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی ضرب سے بننے والے تصادفی متغیر
Z
=
X
Y
{\displaystyle Z=XY}
متوقع قدر X اور Y کی متوقع قدر کے حاصل ضرب ہوتی ہے
E
(
Z
)
=
E
(
X
Y
)
=
E
(
X
)
×
E
(
Y
)
{\displaystyle \ E(Z)=E(XY)=E(X)\times E(Y)}
بشرطیکہ X اور Y کی متوقع قدر موجود ہو۔
آزاد تصادفی متغیر X اور Y کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر
Z
=
X
+
Y
{\displaystyle Z=X+Y}
تفاوت (variance)، تصادفی متغیر X اور Y کی تفاوت کی جمع ہوتی ہے
Var
(
Z
)
=
Var
(
X
+
Y
)
=
Var
(
X
)
+
Var
(
Y
)
{\displaystyle \ {\hbox{Var}}(Z)={\hbox{Var}}(X+Y)={\hbox{Var}}(X)+{\hbox{Var}}(Y)}
n تصادفی متغیر کی آزادی
ترمیم
n تصادفی متغیروں
X
1
,
X
2
,
⋯
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}
X
i
,
X
j
,
i
,
j
∈
{
1
,
2
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle X_{i},X_{j}\,,\,i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}}
آزاد ہوں۔
E=mc2 اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات
