مسئلہ بازیل

اصطلاح	term
ریاضیاتی تحلیل نظریۂ عدد لامتناہی قدرتی عدد متقابل کثیر رقمی عددی سر	mathematical analysis number theory infinite natural number reciprocal polynomials coefficient

مسئلہ بازیل ریاضیاتی تحلیل کا ایک مشہور مسئلہ ہے جو نظریۂ عدد سے مطابقت رکھتا ہے جسے سب سے پہلے پیٹرو مینگولی نے 1644ء میں پیش کیا تھا اور لیونہارڈ اویلر نے 1735ء میں حل کیا تھا۔ اسے بہت سارے ریاضی دانوں نے حل کرنے کی کوشش کی تھی۔ اویلر کے حل نے اُسے بہت جلد بہت شہرت دلا دی جب اُس کی عمر صرف 28 سال تھی۔ اس مسئلہ کا نام بازیل اویلر اور برنولی خاندان کا آبائی شہر ہے۔ اس مسئلے میں لامتناہی قدرتی اعداد کے مربع کے متقابل کا حاصل جمع پوچھا جاتا ہے۔

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

یہ تو سب کو معلوم تھا کہ اس کا تقریبا حاصل جمع 1.644934 بنتا ہے مگر اس کا درست جواب اس وقت کسی کو معلوم نہیں تھا۔ لیونہارڈ اویلر نے اس مسئلے کو 1735ء میں حل کیا اور اس کا جواب ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ بتایا۔ اس کے دلائل اس وقت کے لحاظ سے ٹھوس نہیں تھے مگر اُس نے 1741ء میں اس مسئلے کا معتبر حل پیش کیا۔

عائلر کی رسائی

عائلر نے اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے متناہی کثیر رقمی (polynomials) کا مشاہدہ کیا اور یہ فرض کیا یہ لامنتاہی کثیر رقمی بھی انہی خصوصیات کی حامل ہوتی ہیں۔ عائلر کے اس مفروضے کا جواز تقریبا 100 سال بعد جرمن ریاضی دان کارل وایراشٹراس نے دیا اور ثابت کیا کہ عائلر کے لامنتاہی سائن دالہ (sin function) کا حاصل ضرب درست ہے۔ مگر اس کے باوجود عائلر اس مسئلے کا درست حل معلوم کرنے میں کامیاب ہو گیا تھا۔

عائلر کے اپنی دلیل سائن فنکشن کی ٹیلر سلسلہ کی مدد سے توسیع سے شروع کیا۔

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .$

اسے x سے تقسیم کرنے پر ہمیں یہ نتیجہ حاصل ہو گا۔

${\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .$

اس مساوات کا جزر، دوسرے الفاظ میں فنکشن کی وہ قدر جس پر نتجہ صفر آئے، $x=n\cdot \pi$ ہوں گے، یہاں n سے مراد $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \,.$ ہے۔ اب ہم اس مساوات کو متناہی کثیر رقمی کی طرح اس طرح لکھا جا سکتا ہے۔

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&{}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots .\end{aligned}}$

اگر ہم نیوٹن کی اکائیاں کی مدد سے صرف $x^{2}$ کو ضرب دیں تو ہم دیکھتے ہیں کہ sin(x)/x کے $x^{2}$ کا عددی سر یہ ہو گا۔

$-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

مگر ہم دیکھتے ہیں کہ اصل لامتناہی سلسلہ کا $x^{2}$ کا عددی سر $-1/6$ ہے۔ یہ دونوں عددی سر برابر ہونے چاہیے۔ اس لیے ہم لکھ سکتے ہیں کہ

$-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$

اس مساوات کو دونوں جانب سے $-\pi ^{2}$ سے ضرب دینے پر ہمیں یہ حاصل ہو گا۔

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

بیرونی روابط

• Euler's solution of the Basel problem – the longer storyپی ڈی ایف (61.7 KB)
• How Euler did itپی ڈی ایف (265 KB)
• The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus classپی ڈی ایف (106 KB)
• Evaluating ζ(2)پی ڈی ایف Fourteen proofs compiled by Robin Chapman