ابتدائی الجبرا

ابتدائی الجبرا بنیادی اور نسبتاً اساسی ہیئت ہے الجبرا کی، جو ایسے طلبہ کو پڑھایا جاتا ہے جن کو ریاضی کا رسمی علم حساب سے آگے کم ہی یا نہیں ہوتا۔ جب کہ حساب میں صرف اعداد اور حسابی عالج (جیسا کہ +، −، ×، ÷) وارد ہوتے ہیں، الجبرا میں علامات (جیسا کہ x اور y یا a اور b) بھی اعداد کو تعبیر کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ ان کو متغیر کہتے ہیں۔ یہ مفید رہتا ہے کیونکہ:

• یہ حسابی مساوات (اور نامساوات) کو جامع قوانین کے طور پر بیان کرنے کو ممکن بناتا ہے (جیسا کہ a+b=b+a تمام a اور b کے لیے) اور اس طرح پہلا قدم ہے حقیقی عدد نظام کے نظمیت مطالعہ کا۔
• اس سے ایسے اعداد کو حوالہ دینا ممکن ہو جاتا جو معلوم نہیں ہوتے۔ مسئلہ کے سیاق و سباق میں، ایک متغیر ایسی خاص قدر کی نمائندگی کر سکتا ہے جو ابھی معلوم نہیں، مگر مساوات کی کلیات کر کے اور ان کی کاریگری کر کے ڈھونڈی جا سکتی ہے۔
• اس سے اقدار کے درمیان ریاضیاتی نسبتوں کی کھوج ممکن ہو جاتی ہے (جیسا کہ "اگر تم x ٹکٹ بیچو گے تو تمھارا منافع 3x −10 روپے ہو گا")۔

یہ تین ابتدائی الجبرا کی اکبر لڑیاں ہیں، جسے تجریدی الجبرا سے ممیز کرنا چاہیے جو مطالعہ کا اعلٰی علاقہ ہے۔

ابتدائی الجبرا میں، اظہاریہ میں چاہے اعداد، متغیر اور حسابی عالج ہوں۔ رواجاً 'ارفع-طاقت' اصطلاحات کو بائیں ہاتھ لکھا جاتا ہے (دیکھو کثیررقمی): کچھ مثالیں ہیں :

مثالی الجبرا مسئلہ

$x+3\,$

$y^{2}+2x-3\,$

$z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,$

تھوڑا اعلی الجبرا میں اظہاریہ میں ابتدائی دالہ کو بھی شامل کیا جا سکتا ہے۔

ایک مساوات یہ دعوٰی ہے کہ دو اظہاریہ آپس میں برابر ہیں۔ کچھ مساوات متذکرہ متغیرات کی تمام اقدار کے لیے سچ ہوتی ہیں (جیسے a+b=b+a)؛ ایسی مساوات کو شناختیں کہتے ہیں۔ شرطیہ مساوات سچ ہوتی ہیں متذکرہ متغیرات کی صرف کچھ اقدار کے لیے : x2-1=4 ایسی مساوات میں متغیرات کی وہ اقدار جو مساوات کو سچ بنا دیں کو مساوات کا حل کہا جاتا ہے اور انھیں مساوات حل کر کے ڈھونڈا جا سکتا ہے۔

ابتدائی الجبرا کے قوانین

عالجوں کے خاصے

• جمع (+) کا عالج …
• * لکھا جاتا ہے a + b
• * مبدلی ہے : a + b = b + a
• * مشارکی ہے : (a + b) + c = a + (b + c)
• * کا مقلوت عالج ہے، جسے تفریق کہتے ہیں :(a + b) − b = a، جو ایسا ہی ہے کہ منفی عدد کو جمع کیا جائے، a − b = a + (−b)
• * اس کا خاص رکن 0 ہے جو اعداد کو برقرار رکھتا ہے :a + 0 = a
• ضرب (×) کا عالج …
• * کو a × b لکھا جاتا ہے یا a • b
• * مبدلی ہے : a × b = b × a
• * مشارکی ہے : (a × b) × c = a × (b × c)
• * کو پیوستگی سے مختصراً یوں کیا جاتا ہے : a × b ≡ ab
• * اس میں خاص رکن 1 ہے جو اعداد کو برقرار رکھتا ہے : a × 1 = a
• * غیر صفر اعداد کے لیے، مقلوب عالج جسے تقسیم کہتے ہیں : (ab)/b = a, جو ایسا ہی ہے کہ عدد کے اُلٹ سے ضرب دی جائے a/b = a(1/b)
• * جمع کے اوپر توزیعی: (a + b)c = ac + bc
• اَسّیا کا عالج …
• * کو لکھتے ہیں a^b
• * جس کا مطلب بتکرار ضرب دینا: an = a × a × … × a (دفعہ n )
• * عام طور پر نہ مبدلی ہے نہ مشارکی: ab ≠ ba اور ${(a^{b})}^{c}\neq a^{(b^{c})}$
• * کا مقلوب عالج ہے، جسے لاگرتھم کہتے ہیں : alogab = b = logaab
• * بطور nواں جزر لکھا جا سکتا ہے : am/n ≡ (n√a)m اور اس لیے منفی اعداد کے جفت جزر حقیقی عدد نظام میں وجود نہیں رکھتے (دیکھو مخلوط عدد)
• * کا خاص رکن 1 ہے جو اعداد کو برقرار رکھتا ہے : a¹ = a
• * ضرب کے اوپر توزیعی ہے : (ab)c = acbc
• * کا خاصا ہے : abac = ab + c
• * کا خاصا ہے : (ab)c = abc

عالجوں کا رُتبہ

اظہاریہ کی قدر کمپیوٹر کرنے کے لیے، یہ ضروری ہوتا ہے کہ حصوں کو خاص ترتیب میں کمپیوٹر کیا کائے، جسے عالجوں کا رتبہ کہا جاتا ہے۔ پہلے ایسی اظہاریہ کو کمپیوٹر کیا جاتا ہے جو قوسین میں ملفوف ہوں، جس کے بعد اَسّیا، اس کے بعد ضرب اور تقسیم اور آخر میں جمع اور تفریق۔ ممد حافظہ کے لیے اس مرتب کو ق‌اض‌ت‌ج‌ت (قوسین، اَسّیا، ضرب، تقسیم، جمع، تفریق) کی اختراع استعمال کی جاتی ہے۔

قوسین کو کھولنا: اساسی طور پر، قوسین 'مفرد قدر' کی تعبیر کرتا ہے۔ مثلاً اظہاریہ 2x+(3y-4z) دیکھو۔ اس کا مطلب ہے کہ قوسین میں ملفوف ہونے کی وجہ سے (3y-4z) مفرد اظہاریہ ہے۔ ہمیں یہ سمجھنا چاہیے کہ اس اظہاریہ 2x+(3y-4z) میں تین ذیلی اظہاریہ 2x, 3y, -4z کی بجائے دو ذیلی اظہاریہ 2x اور (3y-4z) ہیں۔

مساوت کے خاصے

• مساوات (=) کی نسبت ہے …:
• * منعکسہ: a = a
• * متناظر: اگر a = b تو b = a
• * متعدی: اگر a = b اور b = c تو a = c

مساوات کے قوانین

• مساوات (=) کی نسبت کا خاصا ہے …
• * اگر a = b اور c = d، تو a + c = b اور ac = bd
• * اگر a = b تو a + c = b + c
• * اگر دو علامات برابر ہوں، تو ایک کو دوسری کی جگہ قائم‌مقام کیا جا سکتا ہے۔

نامساوات کے قوانین

• نامساوات (<) کی نسبت کا خاصا ہے …
• * متعدی کا: اگر a < b اور b < c تو a < c
• * اگر a < b اور c < d تو a + c < b + d
• * اگر a < b اور c > 0 تو ac < bc
• * اگر a < b اور c < 0 تو bc < ac

مثالیں

ایک متغیر میں لکیری مساوات

سب سے سادہ مساوات لکیری مساوات ہے جس میں صرف ایک متغیر ہو۔ ان میں صرف دائم اعداد اور مفرد متغیر بغیر اَسّی کے ہوتا ہے۔ مثلاً

$2x+4=12$

مرکزی تکنیک مساوات کی دونوں اطراف میں ایک ہی عدد سے جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم کرنا، تاکہ متغیر کو مساوات کی ایک طرف تنہا کیا جا سکے۔ جب متغیر یوں تنہا ہو جائے تو مساوات کی دوسری طرف اس متغیر کی قدر ہے۔ مثال کے طور پر، اوپر دی مساوات کے دونوں اطراف 4 تفریق کر کے :

$2x+4-4=12-4$

یہ سادہ ہو جاتی ہے :

$2x=8$

دونوں اطراف 2 سے تقسیم کر کے :

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}$

سادہ ہو کر حل بن جاتی ہے :

$x=4$

جامع صورت

$ax+b=c$

کا حل بھی اسی شکلبندی کی پیروی کرتا ہے :

$x={\frac {c-b}{a}}$

اصطلاح	term
چکوری	quadratic

چکوری مساوات

چکوری مساوات کا اظہار اس ہیئت ax² + bx + c = 0 میں کیا جا سکتا ہے، جہاں a صفر نہیں (اگر صفر ہوتا، تو مساوات چکوری نہیں بلکہ لکیری ہوتی)۔ اس وجہ سے چکوری مساوات میں اصطلاح ax² کا ہونا لازم ہے، جسے چکوری اصطلاح کہا جاتا ہے۔ چونکہ a ≠ 0، اس لیے ہم a سے تقسیم کرتے ہوئے مساوات کو معیاری ہیئت میں ترتیب دیتے ہیں :

$x^{2}+px=q\,$

جہاں p = b/a اور q = −c/a۔ اسے حل کرتے ہیں، ایسے عمل سے جسے مربع مکمل کرنا کہتے ہیں، جو چکوری کلیہ کی راہ دکھاتا ہے۔

چکوری مساوات کو تجزی کے استعمال سے بھی حل کیا جا سکتا ہے (جس کا اُلٹ عمل پھیلاؤ ہے)، مگر دو لکیری اصطلاحات کے لیے کبھی پ‌ب‌اخ قاعدہ تعبیر کیا جاتا ہے۔ تجزی کی مثال کے طور پر

$x^{2}+3x-10=0$

جو وہی چیز ہے کہ

$\ (x+5)(x-2)=0$

صفر حاصل ضرب خاصے سے پتہ چلتا ہے کہ یا تو x = 2 یا پھر x = −5 حل ہیں، کیونکہ ان میں سے ایک جُزِ ضربی کا صفر ہونا ضروری ہے۔ تمام چکوری مساوات کا مخلوط عدد نظام میں دو حل ہوں گے، مگر حقیقی عدد نظام میں کوئی ہونا ضروری نہیں۔ مثلاً

$x^{2}+1=0\,$

کا کوئی حقیقی عدد حل نہیں کیونکہ کوئی حقیقی عدد ایسا نہیں جس کا مربع −1 ہو۔ کبھی چکوری مساوات کے جزر (حل) کی ضربیت 2 ہوتی ہے، جیسا کہ

$(x+1)^{2}=0.\,$

اس مساوات میں جزر −1 کی ضربیت 2 ہے۔

اصطلاح	term
اَسّی لاگرتھم	exponential logarithm

اَسّی اور لاگرتھم مساوات

اَسّی مساوات اس ہیئت a^X = b کی مساوات ہوتی ہے، جہاں a > 0، جس کا حل یہ ہوتا ہے :

$X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}$

جہاں b > 0 ہوتا ہے۔ الجبرا کی ابتدائی تکانیک استعمال کر کے مساوات کو اوپر دی ہیئت میں مکرر لکھا جاتا ہے، حل نکالنے سے پہلے۔ مثلاً، اگر

$3\cdot 2^{x-1}+1=10$

تو دونوں اطراف سے 1 تفریق کر کے اور پھر دونوں اطراف کو 3 سے تقسیم کر کے ہمیں حاصل ہوتا ہے

$2^{x-1}=3\,$

تب

$x-1=\log _{2}3\,$

یا

$x=\log _{2}3+1.\,$

لاگرتھمی مساوات اس ہیئت log_aX = b کی مساوات ہوتی ہے، جہاں a > 0، جس کا حل یہ ہوتا ہے :

$X=a^{b}.\,$

مثال کے طور پر

$4\log _{5}(x-3)-2=6\,$

پھر، دونوں اطراف میں 2 جمع کر کے، مابعد دونوں اطراف 4 سے تقسیم کر کے، ہمیں حاصل ہوتا ہے :

$\log _{5}(x-3)=2\,$

تب

$x-3=5^{2}=25\,$

جس سے ہم حاصل کرتے ہیں :

$x=28$

جزر مساوات

ایک جذر مساوات (radical equation) کی ہیئت X^m/n = a ہوتی ہے، جہاں m اور n صحیح اعداد ہوتے ہیں، جس کا حل ہے

$X={\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

اگر m طاق عدد ہو اور حل

$X=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}$

ہے اگر m جفت عدد ہو اور a ≥ 0 ہو۔ مثلاً اگر

$(x+5)^{2/3}=4\,$

تو

$x+5=\pm ({\sqrt {4}})^{3}=\pm 8$

تب یا تو x = 8 − 5 = 3 یا پھر x = −8 − 5 = −13

متواقت لکیری مساوات کا نظام

تفصیلی مضمون کے لیے System of linear equations ملاحظہ کریں۔

نظامِ متواقت لکیری مساوات میں، جیسے دو مساوات دو متغیروں میں، اکثر ممکن ہوتا ہے کہ دونوں متغیر کے لیے حل ڈھونڈا جا سکتا ہے جو دونوں مساوات کی تسکین کرتا ہے۔

طریقۂ اخراج

طریقہ اخراج سے لکیری مساوات نظام کے حل کی مثال:

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,$

دوسری مساوات کی اصطلاحات کو 2 سے ضرب دے کر:

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2\,$

دونوں مساوات کو ساتھ جمع کر کے :

$8x=16\,$

جو سادہ ہو جاتی ہے :

$x=2\,$

اب جبکہ معلوم ہو چکا ہے کہ x = 2، اس لیے اب یہ اخذ کرنا ممکن ہو گیا ہے کہ y = 3، دونوں میں سے کسی بھی مساوات سے x کی جگہ 2 استعمال کر کے۔ اس مسئلہ کا پورا حل اس طرح یوں ہے :

${\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\,$

خیال رہے کہ اس خاص نظام کو حل کرنے کا یہ واحد طریقہ نہیں ؛ y کے لیے ہم x سے پہلے حل کر سکتے تھے۔

اصطلاح	term
قائم مقامی	substitution

حل ڈھونڈنے کا دوسرا طریقہ

اسی لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کا دوسرا طریقہ قائم مقامی کے ذریعہ ہے

${\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,$

متغیر y کا برابر اخذ کیا جا سکتا ہے ان میں سے ایک مساوات کو استعمال کر کے۔ دوسری مساوات کو استعمال کرتے ہوئے :

$2x-y=1\,$

مساوات کی دونوں اطراف سے 2x تفریق کر کے :

$2x-2x-y=1-2x\,$

$-y=1-2x\,$

اور -1 سے ضرب دے کر

$y=2x-1.\,$

متغیر y کی اس قدر کو اصل نظام کی پہلی مساوات میں استعمال کرتے ہوئے :

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

مساوات کے دونوں اطراف 2 جمع کرتے ہوئے :

$8x-2+2=14+2\,$

$8x=16\,$

جو سادہ ہو جاتی ہے

$x=2\,$

اس قدر کو کسی ایک مساوات میں استعمال کر کے وہی حل کو پچھلے طریقے سے حاصل ہوا تھا، مِل جاتا ہے :

${\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,$

خیال رہے کہ اس خاص نظام کو حل کرنے کا یہ واحد طریقہ نہیں ؛ y کے لیے ہم x سے پہلے حل کر سکتے تھے۔

نظامِ لکیری مساوات کی دوسری اقسام

ناقابلِ حل نظام

اُوپر کی مثال میں حل نکالنا ممکن تھا۔ البتہ، ایسے نظاماتِ مساوات بھی ہوتے ہیں جن کا حل نہیں ہوتا۔ ایک عیاں مثال یہ ہے :

${\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,$

دوسری مساوات کا کوئی حل ممکن نہیں۔ اس لیے اس نظام کو حل نہیں کیا جا سکتا۔ البتہ تمام ناموافق نظامات کو پہلی نظر میں پہچاننا ممکن نہیں ہوتا۔ مثال کہ طور پر، ذیل کے نظام کا مطالعہ کرو:

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-4\end{cases}}\,$

اس کو حل کرنے کی کوشش میں (مثلاً، اوپر والے قائمقامی کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے)، دوسری مساوات، دونوں اطراف میں − 2x جمع کرنے کے بعد، پھر −1 سے ضرب کے بعد، نتیجہ آتا ہے :

$y=-2x+4\,$

اور y کی یہ قدر پہلی مساوات میں استعمال کرتے ہوئے :

$4x+2(-2x+4)=12\,$

$4x-4x+8=12\,$

$8=12\,$

کوئی متغیر نہیں بچے اور مساوات سچ نہیں ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ پہلی مساوات حل مہیا نہیں کر سکتی اس y قدر کے لیے جو دوسری مساوات سے حاصل ہوئی تھی۔

اصطلاح	term
غیر جبر	undetermined

غیر جبر نظام

ایسے نظامات بھی ہیں جس کے متعدد یا لامتناہی حل ہوتے ہیں، برخلاف ایسے نظام کے جس کا منفرد حل ہوتا ہے (مطلب، x اور y کی دو منفرد قدریں)۔ مثلاً

${\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,$

دوسری مساوات میں y کو تنہا کر کے :

$y=-2x+6\,$

اور نظام کی پہلی مساوات میں یہ قدر استعمال کر کے :

$4x+2(-2x+6)=12\,$

$4x-4x+12=12\,$

$12=12\,$

یہ مساوات سچ ہے، مگر یہ x کی ایک قدر مہیا نہیں کرتی۔ بے شک ہم آسانی سے تصدیق کر سکتے ہیں (x کی کوئی بھی قدر مان کر) کہ x کی کسی بھی قدر کے لیے، حل موجود ہے جبتک کہ y = −2x + 6 ہو۔ اس نظام کے لامتناہی تعداد میں حل ہیں۔

اصطلاح	term
بالاجبر زیرجبر مضرب	overdetermined underdetermined multiple

بالا اور زیرجبر نظامات

ایسے نظامات جن میں متغیروں کی تعداد زیادہ ہو لکیری مساوات کی تعداد سے، کے منفرد حل نہیں ہوتے۔ ایسے نظام کی مثال یہ ہے

${\begin{cases}x+2y=10\\y-z=2\end{cases}}$

ایسے نظام کو زیرجبر کہا جاتا ہے ؛ جب حل نکالنے کی کوشش کی جائے، ایک یا زیادہ متغیر کو دوسرے متغیروں کی نسبت اظہار کیا جا سکتا ہے، مگر عددی قدر جبر نہیں کی جا سکتی۔ حادثہً، ایسا نظام جس میں مساوات کی تعداد زیادہ ہو متغیروں کی تعداد سے، اِس میں ضروری ہو گا کہ کچھ مساوات دوسری مساوات کا مضرب یا حاصل‌جمع ہوں گی، کو بالاجبر نظام کہا جاتا ہے۔

اصطلاح	term
حلیت ناموافق ناقابل‌حل ضربیت	solvability inconsistent unsolvable multiplicity

حلیت اور ضربیت میں نسبت

دیا ہو نظامِ لکیری مساوات، ضربیت اور حل‌یت کے درمیان رشتہ ہے۔ اگر ایک مساوات دوسری کسی مساوات کی مضرب ہے (جامع طور پر، دوسری مساوات کے مضربیات کا حاصل جمع)، تو نظامِ لکیری مساوات غیر جبری ہے، مطلب کہ نظام کے لامتناہی تعداد میں حل ہیں۔ مثال:

${\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4\end{cases}}$

کے حل (x,y) ہیں جیسا کہ ،(−3000.75,3002.75) ،(4,−2) ،(4,−2) ،(1.8,0.2) ،(1.8,0.2) ،(0,2) ،(1,1) اور اسی طرح۔ جب ضربیت صرف جُزوی ہو (مطلب ہے مثلاً، صرف مساواتوں کی بائیں طرف مضرب ہوں اور دائیں طرف نہ ہوں یا پھر اُسی عدد سے ضرب نہ ہوں) تو نظام ناقابل حل ہے۔ مثلاً

${\begin{cases}x+y=2\\4x+4y=1\end{cases}}$

دوسری مساوات سے حاصل ہوتا ہے x + y = 1/4، جو پہلی مساوات کا متضاد ہے۔ ایسے نظام کو خطی الجبرا کی زبان میں ناموافق کہتے ہیں۔ نظامِ لکیری مساوات کو حل کرتے وقت یہ اچھا خیال ہوتا ہے کہ یہ پرکھ لیا جائے کہ ایک مساوات دوسری کی مضرب ہے۔ اگر ایسا ہے تو منفرد حل جبر نہیں کیا جا سکتا۔ اگر ایسا صرف جُزوی ہے، تو کوئی حل وجود نہیں رکھتا۔ اس کا البتہ یہ مطلب نہیں کہ مساوات کا ایک دوسرے کا مضرب ہونا ضروری ہے حل کے وجود رکھنے کے لیے، جیسا کہ اوپر کے قطعات میں دکھایا گیا ہے، دوسرے الفاظ میں : نظامِ لکیری مساوات میں ضربیت ضروری شرط نہیں ہے حلیت کے لیے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات