دالہ کی حد

ریاضیات میں فنکشن کی حد بنیادی تصور ہے احصا اور تحلیل میں، کسی ادخال کے قریب دالہ کے کردار کے متعلق۔ غیر رسمی طور پر، فنکشن f کسی ادخال x کو اخراج f(x) تفویض کرتی ہے۔ فنکشن کی ادخال p پر حد L ہو گی اگر f(x) "قریب" ہو L کے جب بھی x "قریب" ہو p کے۔ دوسرے الفاظ میں، f(x) قریب تر ہوتی جائے گی L کے جیسے جیسے x قریب تر ہوتا جاتا ہے p کے۔ زیادہ خاصاً، جب f کا اطلاق p کے "کافی" قریب ہر ادخال پر کیا جائے، تو نتیجہ اخراج ایسا ہو گا جو L کے "تعسّفی" قریب ہو گا۔ اگر p کے "قریب" ادخال ایسے اخراج پیدا کریں جو بہت مختلف ہوں، تو کہا جائے گا کہ حد وجود نہیں رکھتی۔ رسمی تعاریف انسویں صدی میں بنائی گئیں جو نیچے دی ہیں۔

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

Although the function (sin x)/x is not defined at zero, as x becomes closer and closer to zero, (sin x)/x becomes arbitrarily close to 1. We say that "the limit of (sin x)/x as x approaches zero equals 1."

اصطلاح	term
حد تفاعل تعسّفی	limit function arbitrary

تعاریف

ذیل میں دی گئی -(ε, δ)تعاریف جامع طور فنکشن کی حد تسلیم کی جاتی ہیں۔

حقیقی لکیر پر تفاعل

فرض کرو کہ f : R → R تعریف ہے حقیقی لکیر پر اور اعداد p,L ∈ R، تو ہم کہتے ہیں کہ فنکشن f کی حد L ہے جب x قریب ہوتا جاتا ہے p کے اور لکھتے ہیں

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

اگر بشرط اگر ہر حقیقی ε> 0 کے لیے ایسا حقیقی δ> 0 وجود رکھتا ہو کہ 0 <| x - p | <δ سے تفویض ہوتا ہو کہ | f(x) - L | <ε.
غور کرو کہ اس حد کی قدر f(p) پر منحصر نہیں۔

یکطرفہ حدیں

The limit as: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Therefore, the limit as x → x₀ does not exist.

متبادلاً، متغیر x چاہے اُوپر (دائیں طرف) سے p کے قریب آ رہا ہو، اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

$\lim _{x\to p^{+}}f(x)=L^{+}$

یا پھر نیچے (بائیں طرف) سے کے p قریب آ رہا ہو، تو اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا

$\lim _{x\to p^{-}}f(x)=L^{-}$

اگر یہ دونوں حدیں برابر ہوں اور $L=L^{+}=L^{-}$ کے برابر ہوں تو پھر اسے f(x) کی p پر حد کہا جا سکتا ہے۔ اگر یہ دونوں حدیں L کے برابر نہ ہوں تو p پر اس فنکشن کی حد وجود نہیں رکھتی۔

f(x) S> 0 x> S.

لامتناہی سے وابستہ حدیں

The limit of this function at infinity exists.

اگر توسیعی حقیقی لکیر R کو دیکھا جائے، یعنی، R ∪ {-∞, ∞}، تو پھر لامتناہی پر فنکشن کی حد تعریف کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔

اگر f(x) حقیقی قدر فنکشن ہو، تو f کی حد جب x لامتناہی کی طرف نکلے، L ہو گی، علامتاً

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L,$

اگر بشرط اگر تمام $\epsilon >0$ کے لیے ایسا S> 0 وجود رکھتا ہو کہ $\ |f(x)-L|<\epsilon$ ہو جب بھی x> S.

Topics in Calculus

Fundamental theorem Limits of functions Continuity Mean value theorem Differential calculus  Derivative Change of variables Implicit differentiation Taylor's theorem Related rates Identities Rules: Power rule, Product rule, Quotient rule, Chain rule Integral calculus  Integral Lists of integrals Improper integrals Integration by: parts, disks, cylindrical shells, substitution, trigonometric substitution, partial fractions, changing order Vector calculus  Gradient Divergence Curl Laplacian Gradient theorem Green's theorem Stokes' theorem Divergence theorem Multivariable calculus  Matrix calculus Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian

بعینہی، f کی حد جب x منفی لامتناہی کی طرف نکلے، L ہو گی، علامتاً

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L,$

اگر بشرط اگر تمام $\epsilon >0$ کے لیے ایسا S <0 وجود رکھتا ہو کہ $\ |f(x)-L|<\epsilon$ ہو جب بھی x <S.

مثال کہ طور پر

$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0.$

حدوں کی اقدار لامتناہی بھی ہو سکتی ہیں، مثلاً، فنکشن f کی حد حب x چلے a کو پہنچنے، لامتناہی ہے، یوں لکھا جائے گا

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty ,$

اگر بشرط اگر تمام $S>0$ کے لیے ایسا $\delta >0$ وجود رکھتا ہو کہ $f(x)>S$ ہو جب بھی $\ |x-a|<\delta$

ان خیالات سے مختلف تعاریف اخذ کی جا سکتی ہیں، جیسا کہ

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty .$

مثال کے طور پر

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty .$

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات