سمتی احصا

(Vector calculus سے رجوع مکرر)

سمتی احصا (یا سمتی تحلیل) (انگریزی: Vector calculus) ریاضی کی ایک شاخ جو سمتیہ میدانوں میں تفریق اور تکامل سے معاملہ کرتی ہے، خاص طور پر سہ ابعادی اقلدیسی فضا میں۔ سمتی احصا اہم کردار ادا کرتا ہے تفریقی ہندسہ میں اور جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں۔ یہ طبیعیات اور ہندسیہ میں کثرت سے استعمال ہوتا ہے، خاص طور پر برقناطیسی میدانوں، کشش ثقل کے میدانوں اور سیالی روان کے بیان میں۔

Topics in Calculus

Fundamental theorem
Limits of functions
Continuity
Mean value theorem

Vector calculus 

Gradient
Divergence
Curl
Laplacian
Gradient theorem
Green's theorem
Stokes' theorem
Divergence theorem

اساسی جِرمترميم

سمتی احصا میں اساسی جِرم عددیہ میدان (عددیہ-قدر فنکشن) اور سمتیہ میدان (سمتیہ-قدر فنکشن) ہیں۔ ان کی تولیف یا استحال مختلف عالجہ کے تحت کیا جاتا ہے یا تکامل کیا جاتا ہے۔ زیادہ اعلی مطالعہ میں، کازب سمتیہ اور کازب عددیہ امتیاز کیے جاتے ہیں، جو سمتیہ میدان اور عددیہ میدان کے مماثل ہیں سوائے یہ کہ رُخ بندی اُلٹانے کی فنکشن کے تحت یہ اشارہ (+، -) بدلتے ہیں: مثلاً سمتیہ میدان کا گھنگر کازب میدان ہے اور اگر سمتیہ میدان کو منعکس کیا جائے، تو گھنگر مخالف سمت میں ہو جاتا ہے۔ یہ تمیز نیچے ہندسائی الجبرا میں واضح کیا گیا ہے، جو نیچے بیان کیا گیا ہے۔

سمتی احصا میں اساسی عالج (غیر -تفریقی) کو سمتیہ الجبرا کہا جاتا ہے، اسے سمتیہ فضاء کہا جاتا ہے اور پھر سمتیہ میدان پر عالمی اطلاق کیا جاتا ہے اور ذیل پر مشتمل ہے:

عددیہ ضرب
عددیہ میدان اور سمتیہ میدان کا ضرب سے بنتا ہے سمتیہ میدان؛  ؛
سمتیہ جمع
دو سمتیہ میدانوں کی جمع سے سمتیہ میدان بنتا ہے؛  ؛
ڈاٹ حاصل ضرب
دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے عددیہ میدان؛  ؛
قاطع حاصل ضرب
دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے سمتیہ میدان؛  

سمتیہ عالجترميم

سمتیہ فضا مطالعہ کرتا ہے مختلف تفریقی عالج جو عددیہ یا سمتیہ میدانوں پر تعریف کیے جاتے ہیں، جن کا عام طور پر ڈل عالج ( ) کے ذریعہ اظہار کیا جاتا ہے۔ سمتی احصا میں چار اہم عالج یہ ہیں:

عالج علامت وضاحت ساحہ/حیطہ
Gradient   عددیہ میدان میں تبدیلی کی شرح اور رُخ کو ناپتا ہے۔ عددیہ میدانوں کو سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Curl گھنگر   سمتیہ میدان میں نقطہ کے گِرد گردش کے رحجان کو ناپتا ہے سمتیہ میدانوں کو کازب سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Divergence   سمتیہ میدان کے کسی نقطہ پر ماخذ یا سنڈاس کی مطلق قدر کو تاپتا ہے سمتیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Laplacian لاپلاسین   divergence اور gradient عالجوں کی ترکیب عددیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے

جہاں گھنگر اور انحراف میں فرق اس لیے ہے کیونکہ آخرالذکر قاطع حاصل ضرب استعمال کرتا ہے جبکہ اول اذکر ڈاٹ حاصل ضرب استعمال کرتا ہے اور f سے مراد عددیہ میدان ہے اور F سے مراد سمتیہ میدان۔