حسابان کا بنیادی قضیہ

حسابان کا بنیادی قضیہ رشتہ بتاتا ہے احصا کے دو مرکزی عالجوں کے درمیان: تفریقی اور تکامل۔ قضیہ کا پہلا حصہ بتاتا ہے کہ کہ غیرواضح تکامل کو تفریق کے ذریعہ الٹایا جا سکتا ہے۔ پہلا حصہ اس لیے بھی اہم ہے کیونکہ یہ استمری فنکشن کے مشتق شکن کے وجود کی ضمانت دیتا ہے۔

Topics in Calculus

Fundamental theorem Limits of functions Continuity Mean value theorem Differential calculus  Derivative Change of variables Implicit differentiation Taylor's theorem Related rates Identities Rules: Power rule, Product rule, Quotient rule, Chain rule Integral calculus  Integral Lists of integrals Improper integrals Integration by: parts, disks, cylindrical shells, substitution, trigonometric substitution, partial fractions, changing order Vector calculus  Gradient Divergence Curl Laplacian Gradient theorem Green's theorem Stokes' theorem Divergence theorem Multivariable calculus  Matrix calculus Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian

دوسرا حصہ کسی فنکشن کے لامتناہی مشتق شکنوں کی مدد سے فنکشن کے واضح تکامل کی شمارندی کرنے کی سبیل فراہم کرتا ہے۔ اطلاقیہ میں یہ حصہ اس لیے بہت فائدہ مند ہے کیونکہ یہ واضح تکامل کی شمارندی نمایاً آسان بناتا ہے۔

پہلی بار ثبوت کے ساتھ ابتدائی ہیئت میں یہ قضیہ جیمز گریگری نے شائع کیا۔ اس کے بعد اسحاق بارو اور بالآخر حسابان کی ترقی کے ساتھ لائبنز اور نیوٹن نے پیش کیا۔

طبیعیاتی وجدان

وجدانی طور پر، اس قضیہ کا سادہ بیان ہے کہ مقدار میں وقت (یا کسی اور مقدار) کے ساتھ صغاریہ تبدیلیوں کا حاصل جمع برابر ہوتا ہے مقدار میں خالص تبدیلی کے ۔

سیدھی لکیر میں سفر کرتے ذرہ کے مقام x کو وقت t کے دالہ کے طور پر x(t) لکھا جاتا ہے، یعنی وقت t پر ذرہ کا مقام x(t) ہے۔ اس فنکشن کا مشتق برابر ہے مقام میں صغاریہ تبدیلی dx جو وقت کے صغاریہ وقفہ dt میں رونما ہوتی ہے (مشتق خود بھی وقت کا تابع ہے)۔ اس ہٹاو میں تبدیلی فی "وقت میں تبدیلی" ذرہ کی سمتار v ہے۔ لائیبنز کی علامت میں:

${\frac {dx}{dt}}=v(t).$

یعنی سمتار v مشتق ہے مقام x(t) کا۔

اس مساوات کو نئی مرتب سے لکھ کر، پتہ چلتا ہے کہ

$dx=v(t)\,dt.$

اوپر کی منطق سے، x میں تبدیلی (یا Δx) حاصل جمع ہے صغاریہ تبدیلیوں dx کی۔ یہ مشتق اور وقت کے صغاریہ حاصل اضراب کی حاصل جمع کے برابر بھی ہے۔ یہ لامتناہی حاصل جمعائی ہے "تکامل": لہذا تکامل عالج اصل فنکشن کو اس کے مشتق سے حاصل کرنے کو ممکن بناتا ہے۔ نتیجہ نکالا جا سکتا ہے ہے کہ یہ عمل الٹا بھی چلتا ہے؛ تکامل کے نتیجہ کو تفریق کر کے اصل فنکشن کو حاصل کیا جا سکتا ہے۔

رسمی بیانات

حسابان کے بنیادی قضیہ کے دو حصے ہیں۔ پہلا حصہ مشتق شکن کے مشتق سے معاملہ کرتا ہے اور دوسرا حصہ مشتق شکن اور واضح تکامل کے رشتہ سے معاملہ کرتا ہے۔

پہلا حصہ

اس حصہ کو بعض اوقات حسابان کا پہلا بنیادی قضیہ کہا جتا ہے۔

حقیقی قدر فنکشن F بند وقفہ [a, b] پر تعریف ہوتی ہے، وقفہ [a, b] میں تمام x کے لیے، یوں

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,,$

جہاں ƒ حقیقی قدر استمری فنکشن ہے وقفہ [a, b] پر۔ پھر F استمری ہو گی وقفہ [a, b] پر اور کھلے وقفہ (a, b) پر تفریقی اور مزید

$F'(x)=f(x)\,$

وقفہ (a, b) میں تمام x کے لیے۔

دوسرا حصہ

اس حصہ کو بعض اوقات حسابان کا دوسرا بنیادی قضیہ کہا جاتا ہے۔

چلو بند وقفہ [a, b] پر ƒ حقیقی-قدر فنکشن ہو جو اپنا مشتق شکن F رکھتا ہو وقفہ [a, b] پر،

$f(x)=F'(x).\$

اگر ƒ وقفہ [a, b] پر قابلِ تکامل ہو تو

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,=F(b)-F(a).$

یہاں فنکشن ƒ کے استمری ہونے کی شرط نہیں۔

جب مشتق شکن F وجود رکھتا ہو، تو ƒ کے لامتناہی مشتق‌شکن ہوتے ہیں، جو F میں تعسّفی دائم جمع کرنے سے حاصل ہوتے ہیں (جو تفریق میں گُم جاتا ہے)۔ قضیہ کے پہلے حصہ کی رُو سے ƒ کے مشتق شکن ہمیشہ وجود رکھتے ہیں جب ƒ استمری ہو۔