کامل عدد

کامل عدد ہر اس صحیح عدد کو کہتے ہیں جو اپنے تمام صالح قاسموں کا حاصل جمع ہو۔

جو عدد اپنے صالح قاسموں کے حاصل جمع سے چھوٹا ہو اسے ناقص عدد کہتے ہیں اور جو ان کے حاصل جمع سے بڑا ہو اسے زائد عدد کہتے ہیں۔

مثالیں

• پہلا کامل عدد 6 ہے چونکہ یہ اپنے قاسموں 1، 2، 3 کا حاصل جمع ہے
• دوسرا کامل عدد 48 ہے۔
• تیسرا کامل عدد 496 ہے
• چوتھا کامل عدد 8128 ہے۔

بشمول ان چار پرانے شناختہ شدہ کامل اعداد پہلے 12 شناختہ شدہ کامل عدد یہ ہیں :

• 6=1+2+3
• 28=1+2+4+7+14
• 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
• 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
• 33550336
• 8589869056
• 137438691328
• 2305843008139952128
• 2658455991569831744654692615953842176
• 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
• 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
• 1447401115466452442794637312608598848157367749147483588906635434913119915212

مکمل فہرست

ابھی (دسمبر 2015ء) تک ریاضی دانوں نے ایسے 48 اعداد ڈھونڈے ہیں۔ جو درج ذیل ہیں۔

• دیکھیں

یہ سب جفت عدد ہیں۔ کیا کوئی طاق عدد بھی کامل عدد ہو سکتا ہے یا نہیں؟ ابھی انسان کو اس کا جواب معلوم نہیں ہے۔

تاریخ

عرب مسلم ریاضیدانوں نے 9 ویں صدی سے نظریہ عدد میں گہری دلچسپی لینی شروع کی۔ ان ریاضیدانوں میں سے پہلا ثابت بن قرة تھا جس نے ایسا الخوارزم دریافت کیا جس سے محبانہ اعداد (Amicable Number) کے جوڑے ڈھونڈے جا سکتے تھے، یعنی ایسے اعداد کہ ہر عدد کے صالح قاسموں کی جمع دوسرے عدد کے برابر ہو۔ دسویں صدی میں ابن طاہر بغدادی نے ثابت بن قرہ کے مسئلہ کے تھوڑے انحراف پر نظر ڈالی۔

10 ویں صدی میں ابن ہیثم نے تمام جفت کامل اعداد کی جماعت بندی کی جن کی ہیئت $\ 2^{k-1}(2^{k}-1)$ ہوتی ہے، جہاں $2^{k}-1$ اولی عدد ہے۔ ابن ہیثم نے یہ قضیہ بھی دیا کہ اگر p اولی عدد ہو تو عدد $1+(p-1)!$ تقسیم ہوتا ہے p سے۔ (جس قضیہ کو بعد میں یورپی عالموں نے اپنے ولسن کے نام سے منسوب کر دیا، اس قضیہ کا ثبوت 1771ء میں لاگرینج نے دیا)۔

13 ویں صدی میں فارس ریاضیدان فارسی نے ثابت قضیہ (Thabit Number) کا نیا ثبوت پیش کیا، جس میں اس نے تجزی اور تالیفیات (Combinatorics) کے اہم نئے طرائق متعارف کرائے۔ اس کے علاوہ اس نے محبانہ اعداد جوڑا 17296, 18416 بتایا جو غلطی سے عائلر سے منسوب کیا جاتا ہے (غالبا ثابت کو بھی یہ جوڑا معلوم تھا)۔ محمد باقر یزدی نے محبانہ جوڑا 9,363,584 اور 9,437,056 دیا۔

مزید دیکھیے

• محبانہ عدد