لکیری استحالہ

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ $\ T(X)$ درج ذیل آزمائش پوری کرے (یہاں X اور Y ایک سمتیہ مکاں کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں اور a کوئی بھی عدد میدان $\ \mathbb {R}$ یا $\mathbb {C}$ میں )

• $\ T(aX)=aT(X)$
• $\ T(X+Y)=T(X)+T(Y)$

تو اسے لکیری استحالہ کہتے ہیں۔

میٹرکس ضرب

میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر X سمتیہ مکاں $\mathbb {R} ^{n}$ کا رکن ہو اور A ایک $\ m\times n$ میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

Y = A X

جہاں Y سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{m}$ میں ہو گا۔ مزید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

میٹرکس ضرب صورت

کسی سمتیہ مکاں V میں سمتیہ v کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $v_{0},v_{1},...,v_{n-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb {R} ^{n}$ میں یوں لکھو: $c=\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$
اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا U ہے اور $\ T:V\to U$ ایک لکیری استحالہ ہے اور $\ u=T(v)$
اب سمتیہ مکاں U میں سمتیہ u کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_{0},u_{1},...,u_{m-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb {R} ^{n}$ میں یوں لکھو: $d=\left[{\begin{matrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{m-1}\end{matrix}}\right]$
ہم صورت c اور d میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔
اب چونکہ $\ T(v_{i})$ سمتیہ فضا U میں ہیں، اس لیے انھیں U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: ${\begin{matrix}T(v_{0})=a_{0,0}u_{0}+a_{1,0}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\\T(v_{1})=a_{0,1}u_{0}+a_{1,1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\\\vdots \\T(v_{n-1})=a_{0,m-1}u_{0}+a_{1,m-1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\end{matrix}}$
لکیری استحالہ $\ u=T(v)$
اب v کو سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے ${\begin{matrix}\ u=T(c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1})\end{matrix}}$
اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے ِ
${\begin{matrix}u=c_{0}T(v_{0})+c_{1}T(v_{1})+\cdots +c_{n-1}T(v_{n-1})\\u=c_{0}(a_{0,0}u_{0}+a_{1,0}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\\+c_{1}(a_{0,1}u_{0}+a_{1,1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\\\vdots \\+c_{n-1}(a_{0,m-1}u_{0}+a_{1,m-1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\end{matrix}}$
چونکہ u کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا ${\begin{matrix}u=d_{0}u_{0}+d_{1}u_{1}+\cdots +d_{m-1}u_{m-1}\end{matrix}}$
اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ $\left[{\begin{matrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{m-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots \\a_{m-1,0}&a_{m-1,1}&\cdots &a_{m-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$ اب اس $\ m\times n$ میٹرکس کو ہم A کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا U کے کسی سمتیہ u کی صورت d اور سمتیہ فضا V کے سمتیہ v کی صورت c کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

$\ d=Ac$

غور کرو کہ میٹرکس A دونوں سمتیہ فضا (V اور U) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{i}\}$ اور $\ \{u_{i}\}$ پر منحصر ہے۔ میٹرکس A کی ہیئت پر غور کرو۔ میٹرکس A کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا V کے ایک بنیاد سمتیہ $\ v_{i}$ کو T کے ذریعہ U میں بھیجا جاتا ہے اور $\ T(v_{i})$ کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر $a_{.,.}$ حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

مثال 1

ایک لکیری استحالہ $\ T:\mathbb {R} ^{2}\to {subspace}(\mathbb {R} ^{3})$ فائل:Simtia planes 3 2.png جو یوں ہے $T\left(\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]\right)=\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]$ اور جو سمتیہ فضا $V=\mathbb {R} ^{2}$ سے $\mathbb {R} ^{3}$ کی ذیلی سمتیہ فضا U میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ $\mathbb {R} ^{2}$ میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],v_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$
اور $\mathbb {R} ^{3}$ کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\-6\end{matrix}}\right],u_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\1\\11\end{matrix}}\right]$
۔ اب V کے بنیاد سمتیہ کو T کے ذریعہ U میں بھیج کر U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں $T(v_{0})=1u_{0}+0u_{1}$
$T(v_{1})=-1u_{0}+1u_{1}$
جس سے ہم میٹرکس A پڑھ لیتے ہیں $A=\left[{\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}}\right],$

مثال 2

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو V کہو اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا U کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ $T:V\to U$ یہ ہے $T(p_{1}(x))=xp_{1}(x)$
یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو $p_{1}(x)$ لکھا ہے۔
فضا V میں بنیاد سمتیہ $v_{0}=1,v_{1}=x$
اور فضا U میں بنیاد سمتیہ $u_{0}=1,u_{1}=x,u_{2}=x^{2}$
اب V کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ T کے ذریعہ U میں لے جا کر، ان کو U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر $T(v_{0})=x=0u_{0}+1u_{1}+0u_{2}$
$T(v_{1})=x^{2}=0u_{0}+0u_{1}+1u_{2}$
میٹرکس A پڑھ لو $A=\left[{\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&1\end{matrix}}\right],$

مسلئہ اثباتی

ایک سمتیہ مکاں S پر لکیری استحالہ $T:S\to S$ ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{i}\}$کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس A ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ ہو اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس B ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
$\ B=P^{-1}AP$
جہاں میٹرکس P مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ سے مجموعہ $\ \{v_{i}\}$ لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا A اور B مشابہ میٹرکس ہیں۔

مزید دیکھیے

• حیطہ استحالہ
• قطار اور ستون فضا
• عدیمہ فضا
• عجمہ استحالہ
• نسبی استحالہ

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات