شلبسوتر

شلبا سترا یا شلبسوتر سنسکرت کے متن ہیں جو سروت کرمس سے متعلق ہیں۔ ان میں یگیہ قربان گاہ کی ساخت سے متعلق ہندسی علم دیا گیا ہے۔ سنسکرت لفظ شلبا کا مطلب رسی یا تار کی پیمائش کرنا ہے۔ ان کے نام کے مطابق شلب ستراس میں یگیہ قربان گاہوں کی پیمائش، ان کے لیے جگہ کا انتخاب اور ان کی تعمیر وغیرہ جیسے موضوعات کا تفصیلی بیان ہے۔ یہ ہندوستانی جیومیٹری کی قدیم ترین عبارتیں ہیں۔

پیمانے کے ذرائع کا مقصد ترمیم

سلبسوترس سورت سوتر کا حصہ ہیں۔ , Srautsutras ویدوں کے ضمیمہ ہیں۔ شلبسوترا ہندوستانی ریاضی کے بارے میں معلومات دینے والا سب سے قدیم ذریعہ ہے۔

وبھوتی بھوشن دت کے مطابق، 'شولاب وگیان' کی اصطلاح ابتدائی ہندوستانی ریاضی میں جیومیٹری کے لیے استعمال ہوتی تھی۔ ^[1]

لاگت کے ذرائع کی فہرست ترمیم

اس وقت لاگت کے درج ذیل فارمولے دستیاب ہیں۔

اپستمبا شلبا سترا۔
بودھیانا پیمانے کا فارمولا
انسانی پیمانے کا فارمولا
کاتیان سلبا سترا۔
میترینیا شلبا سترا (کچھ حد تک مانو سلبا سترا سے ملتا جلتا)
وراہا (مخطوطہ کی شکل میں)
وڈول (مخطوطہ کی شکل میں)
ہیرانیاکیشین (اپستمبا سلبا سترا کی طرح)

سلبسوتر میں ریاضی ترمیم

پائتھاگورین ٹرپلٹ ترمیم

اپستمبا نے قربانی کی قربان گاہ میں صحیح زاویہ بنانے کے لیے مندرجہ ذیل تینوں کو استعمال کرنے کا مشورہ دیا ہے۔ آج کل ان تینوں کو ' پائیتھاگورین ٹرپلز' کہا جاتا ہے۔ ^[2]

$(3,4,5)$
$(5,12,13)$
$(8,15,17)$
$(12,35,37)$

جیومیٹری ترمیم

ہندسی شکلیں جیسے مربع ، مستطیل وغیرہ بنانے کا طریقہ بودھیان شلبسوتر میں بیان کیا گیا ہے۔ ^[3] یہ ایک ہندسی شکل کے رقبے کے برابر رقبہ کے ساتھ دوسری ہندسی شکل بنانے کے طریقے بھی فراہم کرتا ہے، جن میں سے کچھ قطعی رقبے کی بجائے رقبہ میں 'تقریباً برابر' ہوتے ہیں۔ ان طریقوں میں اہم طریقے مستطیل, isosceles شکل منحرف , isosceles مثلث , رمیس , اور مربع کے رقبہ کے برابر رقبہ کے ساتھ دائرہ بنانا ہے ؛ دائرے کے رقبے کے برابر رقبہ کے ساتھ مربع بنانا۔ ^[4] ان تحریروں میں، رقبہ کی تخمینی تبدیلی کے ساتھ، زیادہ درست رقبہ کی تبدیلیاں بھی دی گئی ہیں۔ مثال کے طور پر، بودھیان نے ایک دائرے کی تعمیر کے لیے یہ فارمولہ دیا ہے جس کا رقبہ مربع کے رقبہ کے برابر ہو۔

چتراشرم منڈلم چکی کرشنادھام مدھیہ پراچیمبھیاپتایت۔ یادتیشیشیتیسیا سہ ترتین منڈلم پریلیکھیت 2.9

اگر یہ کسی مربع کو دائرے میں تبدیل کرنا چاہتا ہے تو، [مربع کی ایک ڈوری] آدھا ترچھا مرکز سے مشرق تک پھیلا ہوا ہے [اس کا ایک حصہ مربع کے مشرقی جانب سے باہر پڑا ہے]؛ ایک تہائی [باہر پڑا ہوا حصہ] کو بقیہ [آدھے ترچھے] میں شامل کر کے، [مطلوبہ] دائرہ کھینچا جاتا ہے۔ ^[5]

اسی طرح دائرے کے برابر رقبہ کا مربع بنانے کے لیے درج ذیل طریقہ دیا گیا ہے۔

منڈلم چتراشرم چکیرشنویسکمبھماشتو بھگانکرتوا بھاگمے کونترینشادھا وبھاجیاشٹاونشٹیبھاگانودھریت۔ بھاگسیہ چا ششتمشتم بھگونم 2.10

2.10 دائرے کو مربع میں تبدیل کرنے کے لیے، قطر کو آٹھ حصوں میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ ایک [ایسا] حصہ انتیس حصوں میں تقسیم ہونے کے بعد ان میں سے اٹھائیس سے کم ہو جاتا ہے اور چھٹے [بائیں حصے کا] آٹھواں حصہ کم ہوتا ہے۔

اپ یا پنچداشبھگنکریتوا دوؤدھریت۔ سائشانتیا چتراشکرنی

2.11۔ متبادل طور پر، [قطر کو] پندرہ حصوں میں تقسیم کریں اور ان میں سے دو کو کم کریں۔ اس سے مربع کا تخمینی رخ ملتا ہے [مطلوبہ]۔ ^[6]

اوپر والے 2.9 اور 2.10 کے مطابق، کی قدر نکلتی ہے 3.088، جب کہ 2.11 کے مطابق، کی قدر 3.004 آئے گی۔ ^[7]

2 کا مربع جڑ ترمیم

Apastamba Shulbasutra میں درج ذیل آیت 2 کے مربع جڑ کی تخمینی قیمت بتاتی ہے۔

مسئلہ دوہری ۔

پرامنم ترتین وردھائیٹاچا چترتھیناتماچاتسٹریشونین اسپیشلہ۔

مربع کا اخترن (مسئلہ بائنار) - اس کی قدر 34ویں ڈگری (تیسرے کے چوتھے حصے) کو گھٹا کر حاصل کی جاتی ہے اور اس کا چوتھا حصہ (تیسرے کے) تیسرے حصے میں جوڑ کر حاصل کیا جاتا ہے۔

دوسرے الفاظ میں،

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.414{\overline {2156862745098039}}.

حوالہ جات ترمیم

↑ "Shulbasutras and the Indic approach to engineering"۔ 23 अक्तूबर 2018 میں اصل سے آرکائیو شدہ۔ اخذ شدہ بتاریخ 23 अक्तूबर 2018
↑ G.G. Joseph (2000)۔ The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics۔ Princeton University Press۔ صفحہ: 229۔ ISBN 0-691-00659-8
↑ Plofker, Kim (2007). pp. 388–391.
↑ Plofker, Kim (2007). pp. 388–391.
↑ Plofker, Kim (2007). p. 391
↑ Plofker, Kim (2007). p. 391
↑ Plofker, Kim (2007). p. 392. "The "circulature" and quadrature techniques in 2.9 and 2.10, the first of which is illustrated in figure 4.4, imply what we would call a value of π of 3.088, [...] The quadrature in 2.11, on the other hand, suggests that π = 3.004 (where s = 2r·13/15), which is already considered only "approximate." In 2.12, the ratio of a square's diagonal to its side (our 2 ) {\displaystyle {\sqrt {2}})} {\sqrt {2}}) is considered to be 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 1.4142.]"

بیرونی روابط ترمیم

[1] "Shulbasutras and the Indic approach to engineering"۔ 23 अक्तूबर 2018 میں اصل سے آرکائیو شدہ۔ اخذ شدہ بتاریخ 23 अक्तूबर 2018

[joseph-2] G.G. Joseph (2000)۔ The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics۔ Princeton University Press۔ صفحہ: 229۔ ISBN 0-691-00659-8

[3] Plofker, Kim (2007). pp. 388–391.

[4] Plofker, Kim (2007). pp. 388–391.

[5] Plofker, Kim (2007). p. 391

[6] Plofker, Kim (2007). p. 391

[7] Plofker, Kim (2007). p. 392. "The "circulature" and quadrature techniques in 2.9 and 2.10, the first of which is illustrated in figure 4.4, imply what we would call a value of π of 3.088, [...] The quadrature in 2.11, on the other hand, suggests that π = 3.004 (where s = 2r·13/15), which is already considered only "approximate." In 2.12, the ratio of a square's diagonal to its side (our 2 ) {\displaystyle {\sqrt {2}})} {\sqrt {2}}) is considered to be 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 1.4142.]"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]