سمتی احصا

سمتی احصا (یا سمتی تحلیل) (انگریزی: Vector calculus) ریاضی کی ایک شاخ جو سمتیہ میدانوں میں تفریق اور تکامل سے معاملہ کرتی ہے، خاص طور پر سہ ابعادی اقلدیسی فضا $\mathbf {R} ^{3}.$ میں۔ سمتی احصا اہم کردار ادا کرتا ہے تفریقی ہندسہ میں اور جزوی تفریقی مساوات کے مطالعہ میں۔ یہ طبیعیات اور ہندسیہ میں کثرت سے استعمال ہوتا ہے، خاص طور پر برقناطیسی میدانوں، کشش ثقل کے میدانوں اور سیالی روان کے بیان میں۔

Topics in Calculus

Fundamental theorem Limits of functions Continuity Mean value theorem Differential calculus  Derivative Change of variables Implicit differentiation Taylor's theorem Related rates Identities Rules: Power rule, Product rule, Quotient rule, Chain rule Integral calculus  Integral Lists of integrals Improper integrals Integration by: parts, disks, cylindrical shells, substitution, trigonometric substitution, partial fractions, changing order Vector calculus  Gradient Divergence Curl Laplacian Gradient theorem Green's theorem Stokes' theorem Divergence theorem Multivariable calculus  Matrix calculus Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian

اساسی جِرم

سمتی احصا میں اساسی جِرم عددیہ میدان (عددیہ-قدر فنکشن) اور سمتیہ میدان (سمتیہ-قدر فنکشن) ہیں۔ ان کی تولیف یا استحال مختلف عالجہ کے تحت کیا جاتا ہے یا تکامل کیا جاتا ہے۔ زیادہ اعلی مطالعہ میں، کازب سمتیہ اور کازب عددیہ امتیاز کیے جاتے ہیں، جو سمتیہ میدان اور عددیہ میدان کے مماثل ہیں سوائے یہ کہ رُخ بندی اُلٹانے کی فنکشن کے تحت یہ اشارہ (+، -) بدلتے ہیں: مثلاً سمتیہ میدان کا گھنگر کازب میدان ہے اور اگر سمتیہ میدان کو منعکس کیا جائے، تو گھنگر مخالف سمت میں ہو جاتا ہے۔ یہ تمیز نیچے ہندسائی الجبرا میں واضح کیا گیا ہے، جو نیچے بیان کیا گیا ہے۔

سمتی احصا میں اساسی عالج (غیر -تفریقی) کو سمتیہ الجبرا کہا جاتا ہے، اسے سمتیہ فضاء کہا جاتا ہے اور پھر سمتیہ میدان پر عالمی اطلاق کیا جاتا ہے اور ذیل پر مشتمل ہے:

عددیہ ضرب

عددیہ میدان اور سمتیہ میدان کا ضرب سے بنتا ہے سمتیہ میدان؛ $av$؛

سمتیہ جمع

دو سمتیہ میدانوں کی جمع سے سمتیہ میدان بنتا ہے؛ $v+w$؛

ڈاٹ حاصل ضرب

دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے عددیہ میدان؛ $v\cdot w$؛

قاطع حاصل ضرب

دو سمتیہ میدانوں کا ضرب بنائے سمتیہ میدان؛ $v\times w$

سمتیہ عالج

سمتیہ فضا مطالعہ کرتا ہے مختلف تفریقی عالج جو عددیہ یا سمتیہ میدانوں پر تعریف کیے جاتے ہیں، جن کا عام طور پر ڈل عالج ($\nabla$) کے ذریعہ اظہار کیا جاتا ہے۔ سمتی احصا میں چار اہم عالج یہ ہیں:

عالج	علامت	وضاحت	ساحہ/حیطہ
Gradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	عددیہ میدان میں تبدیلی کی شرح اور رُخ کو ناپتا ہے۔	عددیہ میدانوں کو سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Curl گھنگر	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	سمتیہ میدان میں نقطہ کے گِرد گردش کے رحجان کو ناپتا ہے	سمتیہ میدانوں کو کازب سمتیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Divergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	سمتیہ میدان کے کسی نقطہ پر ماخذ یا سنڈاس کی مطلق قدر کو تاپتا ہے	سمتیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے
Laplacian لاپلاسین	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	divergence اور gradient عالجوں کی ترکیب	عددیہ میدانوں کو عددیہ میدانوں میں نقش کرتا ہے

جہاں گھنگر اور انحراف میں فرق اس لیے ہے کیونکہ آخرالذکر قاطع حاصل ضرب استعمال کرتا ہے جبکہ اول اذکر ڈاٹ حاصل ضرب استعمال کرتا ہے اور f سے مراد عددیہ میدان ہے اور F سے مراد سمتیہ میدان۔